Matematik

væksthastighed

01. oktober 2018 af mortenmp12 (Slettet) - Niveau: A-niveau

hvordan bestemmer jeg hvornår væksthastigheden er størst til funktionen $v(x)=10,28/(1+3,177*e^(-0,224x))$ ved ikke hvad der skete med den sidste parentes men der skulle stå e opløftet i -0,224x

på forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. oktober 2018 af SuneChr

Vi skal finde dén værdi for x , for hvilket v '(x) er størst mulig.
Vi skal da løse
v ''(x) = 0
Det svarer grafisk til, at kurven for v (x) har en vendetangent netop i dette punkt.

Brugbart svar (1)

Svar #2
01. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Brug at løsningen til den logistiske differentialligning

(1) $y^\prime(x) = y(x)\cdot\big(b-a\cdot y(x)\big)$

er givet ved

(2) $y^\prime(x) = \frac{\frac{b}{a}}{1 + c\cdot e^{-b\cdot x}}$ .

Hvoraf at du kan aflæse at

(3) $\begin{align*} c &= 3.177 \\ b &=0.244 \\ a &= 0.0218 \end{align*}$

Brug nu at der om løsningen til den logistiske differentialligning gælder at væksthastigheden (dvs. der hvor grafen for y(x) er stejlest) er bestemt ved at

(4) $\begin{align*} y(x) = \frac{b}{2a} \end{align*}$

(ovenstående følger af symmetry). Du skal altså løse

(5) $\begin{align*} \frac{\frac{b}{a}}{1+c\cdot e^{-b\cdot x}} = \frac{b}{2a} &\quad\Leftrightarrow\quad c\cdot e^{-b\cdot x} = 1 \\ &\quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{\ln(c)}{b} \end{align*}$

Hvorfor at væksthastigheden for løsningen til den logistiske differentialligning er maksimal i punktet

(6) $(x,y) = \bigg(\frac{\ln(c)}{b},\frac{b}{2a}\bigg)$

Skriv et svar til: væksthastighed

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.