Matematik

foreningsmængde og delmængde

04. oktober 2018 af sajana - Niveau: Universitet/Videregående

bestem ( Det der er på billedet og bevis påstanden)

Vedhæftet fil: 43115289_1904259286324205_6301560108132335616_n.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. oktober 2018 af Festino

Svaret er

$\bigcup_{n=1}^{\infty}\left[-1,1-\frac{1}{n}\right]=[-1,1[$

fordi der for ethvert $x\in[-1,1[$ findes et (stort) $n$ så $1-\frac{1}{n}>x$ . Det er klart, at

$1\not\in\bigcup_{n=1}^{\infty}\left[-1,1-\frac{1}{n}\right]$

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Alternativt kan du vise at

$\limsup_{n\rightarrow\infty}\big[-1,1-\tfrac{1}{n}\big] = \liminf_{n\rightarrow\infty}\big[-1,1-\tfrac{1}{n}\big]$

og derefter kan du konkludere (eftersom det er en følge af nested/inlejret og voksende mængder) at

$\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\big[-1,1-\tfrac{1}{n}\big] = [-1,1]$

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Tilføjelse til #2

Endnu nemere er det at viset at

$\mathbf{1}_{\big[-1,1-\tfrac{1}{n}\big]}$

konvergere punktvist til $\mathbf{1}_{[-1,1]}$ og dermed følger påstanden.

– hvis ikke at An2 har ændret ugesedler siden jeg selv tog kurset for mange år siden, så se evt. ugesedel 2 supplerende opgave 4 (i).

Svar #4
04. oktober 2018 af sajana

Men er det et bevis fernando skal man ikke antage noget?

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. oktober 2018 af Festino

Ja, det er et bevis. Man kan sige, at vi antager, at $x\in[-1,1[$ , og så viser vi, at

$x\in\left[-1,1-\frac{1}{n}\right]$

for et passende $n$ (fordi $1-\frac{1}{n}\to 1\text{ for }n\to\infty$ ). Dermed gælder der

$x\in\bigcup_{n=1}^{\infty}\left[-1,1-\frac{1}{n}\right]$

Brugbart svar (0)

Svar #6
04. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Lad $x$ være et vilkårlig valgt til i $[-1,1)$ . Oberserver nu at der for samtlige $n\geq \tfrac{1}{1-x}$ gælder at

$\bigg\vert\mathbf{1}_{\big[-1,1-\tfrac{1}{n}\big]}(x)-\mathbf{1}_{[-1,1)}(x)\bigg\vert = 0$

og tilsvarende at der for samtlige $x\neq[-1,1)$ ligeledes trivielt gælder at

$\bigg\vert\mathbf{1}_{\big[-1,1-\tfrac{1}{n}\big]}(x)-\mathbf{1}_{[-1,1)}(x)\bigg\vert = 0$ ,

for samtlige $n\in\mathbb{N}$ . Dette viser at der for alle reelle $\varepsilon>0$ eksitere et $N\in\mathbb{N}$ således at der for samtlige $n>N$ gælder at

$\bigg\vert\mathbf{1}_{\big[-1,1-\tfrac{1}{n}\big]}(x)-\mathbf{1}_{[-1,1)}(x)\bigg\vert < \varepsilon$ .

Dermed har du vist at $\mathbf{1}_{\big[-1,1-\tfrac{1}{n}\big]}$ konvergere punktvist til $\mathbf{1}_{[-1,1)}$ på hele $\mathbb{R}$ . Hvorfor at du kan slutte at

$\big\{\big[-1,1-\tfrac{1}{n}\big]\big\}_{n\in\mathbb{N}} \uparrow[-1,1)$

og dermed at

$\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\big[-1,1-\tfrac{1}{n}\big] = [-1,1)$

Q.E.D.

Svar #7
04. oktober 2018 af sajana

problemet er t jeg bare ikke har lært det på den måde du gør med 1[-1,1-1/n] hvad står 1'tallet for?

Brugbart svar (0)

Svar #8
04. oktober 2018 af swpply (Slettet)

$\mathbf{1}_A$ er indikatorfunktionen på mængden $A$ (link).

–– Hvilket kursus er din opgaven stillet i?

Svar #9
04. oktober 2018 af sajana

diskret mat

Brugbart svar (0)

Svar #10
04. oktober 2018 af swpply (Slettet)

#9
diskret mat

Undskyld, du lære først om den metode jeg bruger i analyse 2 til næste år.

Du skal istedet gøre som Festino. Du skal altså først vise at

$(1)\qquad\qquad\qquad\qquad\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\big[-1,1-\tfrac{1}{n}\big] \subseteq [-1,1)$

og dernest at

$(2)\qquad\qquad\qquad\qquad\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\big[-1,1-\tfrac{1}{n}\big] \supseteq [-1,1)$

hvorefter at du nødvendigvis kan konkludere at

$(3)\qquad\qquad\qquad\qquad\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\big[-1,1-\tfrac{1}{n}\big] =[-1,1)$ .

Svar #11
04. oktober 2018 af sajana

kan man ikke vise det den ene vej ved hjælp af kontraposition altså ved fx at sige: at hvis x ikke er [-1,1[ så gælder udtrykket ikke også bruge den akemediske egenskab?

Brugbart svar (0)

Svar #12
04. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Jeg vil bevise påstanden på følgende vis:

Vedhæftet fil:swpply.png

Svar #13
04. oktober 2018 af sajana

hvilken bog er det du har fundet det i?

Brugbart svar (0)

Svar #14
04. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Det er ikke fra nogen bog, jeg har selv skrevet det netop nu.

Svar #15
04. oktober 2018 af sajana

nååååååår mange taak. Det giver mening nu :)

Brugbart svar (0)

Svar #16
04. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Det var godt :-)

Bemærk at bevis teknikken er general teknik til at bevise at to mængder er identiske. Så du vil gøre dig selv en tjeneste at studere ovenstående bevis og øve lignende beviser.

God fortsat studielyst ;-)

Svar #17
04. oktober 2018 af sajana

yes det vil jeg 100 procent gør. Vil lige prøve med foreningsmængden af det samme

Svar #18
04. oktober 2018 af sajana

men sidder lidt fast i foreningsmængden ∩ hvor n=1.

Sidder fast her:

⊇ let x be in [-1,0], then observe that:

hvad vil det så være? hvordan finder man ud af det?

Svar #19
05. oktober 2018 af sajana

Brugbart svar (0)

Svar #20
05. oktober 2018 af AskTheAfghan

#18 Hvad spørger du om helt præcis? Drejer det sig om den samme opgave, eller?

Forrige 1 2 Næste

Der er 28 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.