Matematik

Bestem en forskrift for funktionen f, når....

17. oktober 2018 af Jens8999 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Opgaven: https://imgur.com/a/5WcFGw4

Jeg fandt frem til svaret (f(x)=e^x-sin?(x)-cos?(x)+x+2), men det skulle afregnes manuelt. Altså, wordmat gad ikke at regne den ud. Jeg tænkte først, at jeg bare skulle vælge "løs differentialligning" og så indsætte de informationer vi kender, men det gad den slet ikke at løse. Så, jeg blev nødt til at integere funktionen 2 gange, og så finde k begge gange, men jeg tænker at man nok skal regne den på en nemmere måde?

f(x) e^x-sin?(x)-cos?(x)+x+2

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. oktober 2018 af mathon

Brugbart svar (1)

Svar #2
17. oktober 2018 af swpply (Slettet)

$\begin{align*} f^\prime(x) &= \int\big(e^x+\sin(x)+\cos(x)\big)dx \\ &= \int e^x\,dx + \int\sin(x)\,dx + \int\cos(x)\,dx \\ &= e^x -\cos(x)+\sin(x) + C_1 \end{align*}$

Brug nu at $\begin{align*} f^\prime(0) = 1 \end{align*}$ , hvorfor at

$\begin{align*} f^\prime(0) = 1 \quad\Leftrightarrow\quad 1 &= e^0 - \cos(0) + \sin(0) + C_1 \\ &=1-1+0+C_1 \\ &= C_1 \end{align*}$

Dermed har du at

$\begin{align*} f(x) &= \int\big(e^x -\cos(x)+\sin(x) + 1\big)dx \\ &= \int e^x\,dx - \int\cos(x)\,dx + \int\sin(x)\,dx + \int1\,dx \\ &= e^x - \sin(x) - \cos(x) + x + C_2 \end{align*}$

Brug nu at $f(0) = 2$ , hvorfor at

$\begin{align*} f(0) = 2 \quad\Leftrightarrow\quad 2 &= e^0 - \sin(0) - \cos(0) + 0 + C_2 \\ &= 1 - 0 -1+0+C_2 \\ &= C_2 \end{align*}$

Altså har du at

$f(x) = e^x -\sin(x)-\cos(x) + x +2$

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. oktober 2018 af mathon

$\small f{\, }'(x)=e^x-\cos(x)+\sin(x)+1$

og
$\small f{\, }'(0)&=&e^0-\cos(0)+\sin(0)+k_1=1$

$\small 1-1+0+k_1=1$

$\small k_1=1$
hvoraf
$\small f{\, }'(x)=e^x-\cos(x)+\sin(x)+1$

Brugbart svar (0)

Svar #4
17. oktober 2018 af mathon

overhalet af #2 :-)

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. oktober 2018 af swpply (Slettet)

#4 Ja, undskyld. Dit svar i #1 var ikke "posted" da jeg begyndte på udfærdigelsen af svar #2.

Svar #6
17. oktober 2018 af Jens8999 (Slettet)

Super, tak gutter. Jeg kan se at jeg skal integrere e^x+sin(x)+cos(x) hver for sig. Det er nok derfor jeg ikke kunne få cas til at regne det.

Brugbart svar (0)

Svar #7
17. oktober 2018 af swpply (Slettet)

#6
Jeg kan se at jeg skal integrere e^x+sin(x)+cos(x) hver for sig.

Nej, du skal blot integrere e^x + sin(x) + cos(x) to gange. Dvs.

$\int\int \big(e^x+\sin(x)+\cos(x)\big)\,dx\,dx$

Brugbart svar (0)

Svar #8
17. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Jeg ved som sagt ikke med WordMat, men Mapple syntaksen er

$\mathsf{dsolve}\bigg(\bigg\{\frac{d^2}{dx^2}f(x) = e^x + \sin(x) + \cos(x),\ f(0)=2,\ D(f)(0)=1\bigg\},\ f(x)\bigg)$

Skriv et svar til: Bestem en forskrift for funktionen f, når....

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.