Matematik

Inhomogen differentialligning

22. oktober 2018 af studiehjælpsøges (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har brug for hjælp til en opgave omkring differentialligninger. Opgaven lyder således:

Givet den inhomogene differentialligning $dy/dx-3y=e^{x}$

a) Find den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene løsning.
Jeg har prøvet at løse den og fik det til at være $y=e^{x}/-3+c·e^{3x}$

b) Gør prøve og vis, at $f(x)=-1/2·e^{x}$ er en partikulær løsning til den inhomogene ligning

c) Benyt formel 161 til at finde den fuldstændige løsning til den inhomogene ligning

d) Gør rede for at a) og b) understøtter “Den fuldstændige løsning til en inhomogen 1. ordens lineær dfferentialligning, fås ved atfinde denfuldstændige løsning til den den tilsvarende homogene ligning og lægge en partikulær løsning til den inhomogene ligning til"

Formel 161:
Ligning $y'+a(x)y=b(x)$
Løsning $y(x)=e^{-Ax}\int b(x)e^{Ax}dx+c·e^{-Ax}$

Håber i kan hjælpe mig. På forhånd tak

Svar #1
22. oktober 2018 af studiehjælpsøges (Slettet)

Ved b skal der stå $\frac{-1}{2}·e^{x}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Delopgave a)
Den homogene differentialligningen er

$y^\prime - 3y=0$ .

Dette er differentialligningen for en eksponentiel udvikling (et eksponentiel "henfald"), hvorfor at den fuldstændige løsning er

$y_h(x) = c\cdot e^{3x}$ .

Delopgave b)
Vi gør prøve

$\begin{align*} f^\prime(x)-3f(x) &= -\frac{1}{2}e^{x} - 3\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)e^x \\ &= \bigg(-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\bigg)e^x \\ &= e^x \end{align*}$

dermed har vi vist at $f(x)$ er en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning.

Delopgave c)
Ved brug af panserformlen finder vi at

$\begin{align*} y(x) &= e^{3x}\int e^{-2x}\,dx \\ &= e^{3x}\bigg(-\frac{1}{2}e^{-2x} +c\bigg) \\ &= ce^{3x} - \frac{1}{2}e^x \end{align*}$

Delopgave d)
Vi observer nu at summen af den fuldstændige løsning til den homogene differentialligning og partikulær løsningen fra b) giver den fuldstændige løsning til den inhomogene differentialligning, idet at

$\begin{align*} y_h(x) + f(x) = ce^{3x} - \frac{1}{2}e^x \end{align*}$ .

Dette er sandt fordi at den inhomogene differentialligning er lineær.

Svar #3
22. oktober 2018 af studiehjælpsøges (Slettet)

Tusind tak for hjælpen, men jeg er ikke sikker på at jeg forstår b)

Svar #4
22. oktober 2018 af studiehjælpsøges (Slettet)

Glem det. Jeg har forstået det nu

Svar #5
22. oktober 2018 af studiehjælpsøges (Slettet)

Det kan være du kan hjælpe mig med en anden opgave:

Gør rede for at den fuldstændige løsning til den homogene lineære 1. ordens ligning $y'+a(x)y=0$ er $f(x)=c·e^{-Ax}$ ved metoden "separation af de variable"

Brugbart svar (0)

Svar #6
22. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Betragt den homogene lineære 1. ordens ordinære differentialligning

$\begin{align*} \frac{dy}{dx} + a(x)y = 0 &\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{y} = -a(x)dx \\ &\quad\Rightarrow\quad \int\frac{dy}{y} = -\int a(x)dx \\ &\quad\Rightarrow\quad \ln(y) = c_1 - A(x) \\ &\quad\Rightarrow\quad y(x) = e^{c_1 - A(x)} \\ &\hspace{64pt} = e^{c_1} e^{- A(x)} \\ &\hspace{64pt} = c e^{- A(x)} \end{align*}$

hvor $c = e^{c_1}$ og $A^\prime(x)=a(x)$ . Vi har hermed vist ved seperation af de variable at

$f(x) = ce^{-A(x)}$

er én løsning (men ikke nødvendigvis samtlige løsninger) til differentialligningen

$y^\prime(x) + a(x)y(x) = 0$ .

Men er det nu også samtlige (dvs. den fuldstændige) løsniger hertil? Antag (for modstrid) at der eksitere en helt anden løsning $g(x)\neq0$ til samme differentialligning. Da findes der en funktion $h(x)$ således at

$f(x) = g(x)h(x)$ .

Hvorfor at

$\begin{align*} 0 &= f^\prime(x) + a(x)f(x) \\ &= g^\prime(x)h(x) + g(x)h^\prime(x) + a(x)g(x)h(x) \\ &= g(x)h^\prime(x) + \big[\underbrace{g^\prime(x) + a(x)g(x)}_{0}\big]h(x) \\ &= g(x)h^\prime(x) \\ &\Updownarrow \\ h^\prime(x) &= 0 \\ &\Updownarrow \\ h(x) &= \text{konst.} \end{align*}$

Hvorfor at

$f(x) = \text{konst}\cdot g(x)$

og dermed er $g(x)$ på samme form som $f(x)$ , dvs.

$g(x) = ce^{-A(x)}$

hvilket er en modstrid. Hvorfor at

$y(x) = ce^{-A(x)}$

er den fuldstændige løsning.

Svar #7
22. oktober 2018 af studiehjælpsøges (Slettet)

Tusind tak for hjælpen:)

Skriv et svar til: Inhomogen differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.