Topology

'b er lavet

Ingen der kan hjælpe?

Måske, hvor langt er du kommet?

Jeg har en del idéer til i)

Jeg tænkte, at eftersom jeg har lavet B, og jeg kan benytte at [0:1] tilhører R, kan jeg måske arbejde videre fra :] 

Men ellers er jeg en smule på bar bund i i)

Tjo, men (0,1) er jo ikke en delmængde af de rationelle tal?

Men er det ikke endnu simplere, du skal jo vise at enhver åben delmængde relativ til [0,1] indeholder mindst et punkt fra (0,1). Så hvis du laver en åben kugle om et vilkårligt punkt x₀∈[0,1] skal du vise at denne kugle indeholder mindst et punkt fra (0,1). Dette er rimelig oplagt hvis x₀∈(0,1). Men hvad hvis x₀∈{0,1}?

For x₀=0 har du den åbne kugle B(0,r)∩[0,1]. Men denne kugle indholder da 0+r/2 som jo i hvert fald er indeholdt i (0,1). Hvad med for x₀=1?

Jeg skal vel tjekke at B(0,r)∩ (0,1) ≠ ∅  og B(1,r)∩ (0,1) ≠ ∅  (r>0), men hvordan gør jeg det?

For x_0 = 1 vil det vel være B(1,r)∩[0,1], hvor 1+r/2, men hvordan tjekker jeg, om den er indeholdt i (0,1)?

Altså r>0, så r/2∈B(0,r) (Bemærk fra din definition at B(0,r) i R blot er det åbne interval (-r, r))

Du ved også at r/2∈(0,1), så snittet er ikke tomt.

#9 du skal kigge på punktet 1-r/2 i stedet. 1-r/2∈(1-r, 1]=B(1,r)∩[0,1] 

Hm, okay. Men jeg stadig ikke helt med på, hvordan jeg skal vise det, der er efterspurgt i i)

For at vise at (0,1) er tæt i [0,1] skal du vise at enhver åben delmængde relativt til [0,1] indeholder mindst et punkt fra (0,1). Åbne mængder relativ til [0,1] er åbne kugler (eller foreninger deraf) som i din definition. Så det er nok at vise at enhver åben kugle om et punkt i [0,1] indeholder mindst et punkt fra (0,1). Så vi vælger et vilkårligt punkt x₀∈[0,1] og så vil vi vise at B(x₀, r)∩[0,1] indeholder et punkt fra (0,1) for alle r>0.

Hvis x₀ er valgt således at det selv er indeholdt i (0,1), er B(x₀,r)∩[0,1]⊆(0,1) så her er det oplagt.

Hvis x₀=0 har du at  r/2∈B(0,r)∩[0,1] (r/2 ligger jo midt i mellem 0 og r, altså er den "indenfor" radius)

Men du har samtidigt at r/2∈(0,1) (r er jo skarpt  større end 0, så det er r/2 også! Samtidigt er r/2 jo også skarpt mindre end 1, i hvert fald hvis r er mindre end 2, og der er ingen grund til at vælge r større end 1).

Dette gælde for alle r>0 (og <2, men det er ikke vigtigt) Så du har vist at en åben delmængde om 0 indeholder mindst et punkt fra (0,1) navnlig r/2.

Okay, det var en anelse sværere, som jeg havde regnet med!

Hvad angår opgave iii) tænker jeg, at jeg kan lave en modstrid: Jeg antager S≠T og vælger således x ∈ T\S

Jeg laver nu en talfølge af positive tal (a_n)₌₁^∞  hvor a_n = 1/n som konvergerer mod 0 og laver en ny følge ved at definere b_n til at være element i B_T(x,a_n) ∩ S, men jeg har svært ved at begrunde, hvorfor dette kan lade sig gøre :]

Og da jeg får en ny følge (b_n=1^∞ ) skal jeg formentligt vise, at denne har grænseværdien x og konkludere, at jeg har opnået en modstrid

Det virker som en god ide! Du kan vælge sådan et b_n for alle n da S er tæt i T per antagelse. Så enhver åben delmængde af T indeholder mindst et punkt fra S, så da B_T(x,a_n) er åben indeholder den mindst et punkt fra S, og derfor er B_T(x, a_n)∩S ≠ ø, og du kan altså vælge b_n∈B_T(x, a_n)∩S

Men hvordan viser jeg, at denne følge har grænseværiden x (for derefter at konkludere jeg har opnået en modstrid)?

Du har jo konstrueret din følge så den går mod x! Du kan vise det ved at sige noget i stil med at:

Du ved at ||b_n-x|| < a_n=1/n (b_n ligger jo i kuglen, så den er i hvert fald inden for en afstand af a_n (radius) af centrum x!). Så tager du grænseværdien!

Du ved jo at S er lukket, så din konvergente følge b_n som alle er indeholdt i S må konvergere mod et punkt som også er i S! Det vil sige at du har vist at x∈S