centroid

Centroid kaldes på dansk også tyngdepunkt. Det er en udvidelse af begrebet fra fysikken og hænger sammen med, at det er punkt, der er tyngdepunktet i den givne figur, hvis den skæres ud i f.eks. pap. Jeg bruger i det følgende betegnelse tyngdepunkt, T, og refererer en del til fysikken.

Når man skal fastlægge tyngdepunktet, gør man det ved at finde mindst to linier, som figuren kan balancere om. Skæringspunktet er tyngdepunktet. En fysisk balance om en linie fås, hvis de kraftmomenter, der virker på figuren, har summen 0. Kraftmomenterne regnes med fortegn, så de dele af figuren, der ligger på den ene side af linien giver positive momenter, mens de, der ligger på den anden side giver negative momenter.

Hvis figuren er indlagt i et koordinatsystem, kan man vælge en linie, l, der er parallel med y-aksen, x=x_l. En smal strimmel af figuren, taget parallelt med y-aksen, har "massen" (y_H-y_L)*dx*ρ, hvor parentesen indeholder strimlens længde, dx er dens bredde og ρ er massetætheden. Strimlens arm er (x-x_l), altså afstanden mellem strimlen og linien l, regnet med fortegn. Det samlede moment M er så:

Bemærk, at de to y-værdier er funktioner af x. x_l findes så ved at sætte M=0. Den værdi, der opfylder det, er x-koordinaten for den lodrette ballancelinie og dermed x-koordinaten til tyngdepunktet.

For at finde y-koordinaten til tyngdepunktet gentager man processen blot med en vandret linie m.

Det, jeg har beskrevet her giver dog ikke altid mening. Det er ikke sikkert, at en strimmel er sammenhængende. Hvis figuren er afgrænset af funktioner, vil integralet ovenfor være uændret. Derimod vil strimlerne på den anden led kunne være delt i flere stykker, hvilket så må klares ved at addere enten længderne eller momenterne.

Det, jeg har beskrevet her, kan bruges umiddelbart på den opgave, du har ovenfor og på trekantopgaven i din anden tråd.

I en del tilfælde, f.eks. den opgave, du har i #0, kan man slippe nemmere om ved det, fordi symmetrien i figuren kan benyttes. Da rektanglet er symmetrisk om den linie, der halverer de to lodrette sider, må denne linie være en ballancelinie. Tilsvarende på den anden led. Derfor er tyngdepunktet skæringspunktet for disse to linier. Det er samtidig skæringspunktet for diagonalerne.

En sammensat figur har et tyngdepunkt, der kan findes ved at man finder tyngdepunkterne for hver del af figuren og de respektive "masser". Derefter kan man finde det samlede tyngdepunkt ved at betragte delene som punktformige "masser", der er anbragt i de respektive tyngdepunkter. Et eksempel:

En figur består af to cirkler. Den ene har radius 1 og centrum i (0,-8), den anden har radius 2 og centrum i (0,2). Den førstes "masse" er π og dens tyngdepukt er (0,-8), den anden har "massen" 4π. På grund af symmetrien kan det sluttes, at T_x=0. T_y findes af at summen af de to momenter om T skal være 0: