Matematik

Differentialkvotient

18. november 2018 af kris022g - Niveau: B-niveau

Den tekniske definiton af differentialkvotienten er: f'(x) = deltaY / deltaX med deltaX gående mod 0.

Denne er god til at bestemme hældningen for tangenten på 1 punkt (når man kender to punkter og man har et deltaY og et deltaX), men hvordan kan man få den til at bestemme differentialkvotienten for en hel funktion? Når jeg står med denne definition og jeg skal for den til at gælde for en hel funktion, hvordan forklarer jeg det så? Jeg kan sagtens forklare det hvis jeg putter to punkter ind på en graf...

Brugbart svar (1)

Svar #1
18. november 2018 af ringstedLC

(x₀, y₀) og (x₀+Δx, y₀+Δy) kan jo ligge et hvilket somhelst sted på grafen.

Brugbart svar (1)

Svar #2
18. november 2018 af AMelev

#0
Den tekniske ? definiton af differentialkvotienten er: f'(x) = lim(deltaY / deltaX) med deltaX gående mod 0.

Når du skal bestemme den aflede funktion, skal du bestemme f '(x) for et vilkårligt x, dvs. du skal bestemme $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ .

Metoden går under navnet 3-trinsreglen.
Eks. f(x) = x²

1. Trin Opstilling af differenskvotienten med den aktuelle funktion
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}$

2. Trin Reduktion så langt, at grænseovegangen kan udføres (nævneren må ikke gå mod 0)
$=\frac{x^2+\Delta x^2+2x\cdot \Delta x-x^2}{\Delta x}= \frac{\Delta x^2+2x\cdot \Delta x}{\Delta x}=\Delta x+2x$ (forkortet med Δx)

3. Trin Grænseovergangen for Δx → 0
$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(\Delta x+2x)=2x$

Altså når f(x) = x², er f '(x) = 2x, uanset værdien af x.

Svar #3
22. november 2018 af kris022g

Tak for svar, selvfølgelig!

Skriv et svar til: Differentialkvotient

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.