maksimum

Den anden definition har det yderligere krav at funktionen er defineret på et åbent interval

Første definition inkluderer ikke  (da den ikke er i nærheden af sig selv, men er sig selv). De betyder reelt set det samme, men den sidste inkluderer dog også i :

1:

2:

#1

Den anden definition har det yderligere krav at funktionen er defineret på et åbent interval

Det åbne interval er vel på førsteaksen, ikke andenaksen?

ja

Tak for svarene, men jeg kan stadig ikke helt se kontrasten mellem de to definitioner. Begge definitioner giver jo definitonen at et maksimumspunkt, men jeg forstår ikke hvorfor de er forskellige?

#5

Tak for svarene, men jeg kan stadig ikke helt se kontrasten mellem de to definitioner. Begge definitioner giver jo definitonen at et maksimumspunkt, men jeg forstår ikke hvorfor de er forskellige?

Det prøvede jeg ellers at forklare. Den ene ekskluderer fra i nærheden, mens den anden inkluderer (eller bare ) i .

Så den første: hvis y-værdien ved () er højere end ved alle andre omkringsliggende y-værdier, så er det et maksimum.

Den anden: hvis y-værdien ved () er højere eller lig med alle omkringliggende y-værdier og sin egen
(), så er det et maksimum.

I det andet tilfælde inkludere det ikke c, hvis c er et intervalendepunkt. Ved at tage et skarpt ulighedstegn gælder det også for intervalendepunkterne. Jeg selv vil ikke kalde det et maksimum i sådan et tilfælde; men det er åbenbart meningen med det

#6

#5

Tak for svarene, men jeg kan stadig ikke helt se kontrasten mellem de to definitioner. Begge definitioner giver jo definitonen at et maksimumspunkt, men jeg forstår ikke hvorfor de er forskellige?

Det prøvede jeg ellers at forklare. Den ene ekskluderer fra i nærheden, mens den anden inkluderer (eller bare ) i .

Så den første: hvis y-værdien ved () er højere end ved alle andre omkringsliggende y-værdier, så er det et maksimum.

Den anden: hvis y-værdien ved () er højere eller lig med alle omkringliggende y-værdier og sin egen
(), så er det et maksimum.

Nu giver det bedre mening. Tak!

Den eneste reelle forskel på de to definitioner er netop det, du spørger om i #0: Hvorfor < i den første og ≤ i den anden?

Et eksempel: f(x) = 1 for 1<x<2 og 0 ellers. Ifølge den første definition er der ikke noget lokalt maksimum, mens den har lokalt maksimum for alle x i intervallet ]0;1[. De to definitioner giver ikke samme resultat.

f(x) har, med den anden definition og den tilsvarende for lokalt minimum, både lokalt maksimum og lokalt minimum i det nævnte interval. Dette passer med at funktionen g(x) = 1 har både globalt maksimum og globalt minimum = 1, og antager det for alle x.

De to definitioner betragter begge et åbent interval om c. I den første er det skrevet som i nærheden af, men meningen er den samme. Det behøver ikke at være et åbent interval. Hvis c er endepunktet af definitionsmængden, er intervallet lukket i denne ende. De to definitioner er derfor begge i srid med almindelig praksis. Skal man finde ekstrema for en funktion, der kun er defineret på et lukket interval, skal endepunkterne medtages i undersøgelsen. Forvirringen stammer sikkert fra, at man i mange tilfælde differentierer funktionen og finder stationære punkter. Disse OG ENDEPUNKTERNE er så kandidater til både lokale og globale ekstrema.

Man kan bennytte den sidste definition, hvis man underforstår, at man kun ser på fællesmængden af den åbne mængde og funktionens definitionsmængde.

#0. Jeg mener, at den første definition er rigtig, mens den anden er forkert. Hvis du ser på nedenstående, så vil a, b og d alle være lokalt maksimum i følge den anden definition.

#11 I tilfædet b er der lokalt maksimum, rent intuitivt, men det er der ikke ifølge den første definition, så den kan ikke være rigtig.

Det ser for mig ud som om man stiller definitioner op, uden at undersøge, om de dækker det, man vil have dem til.

Det man vil med et lokalt maksimum er vel at finde en værdi, hvorfra man ikke kan komme "opad" uden første at skulle "nedad". Dette gælder for de to tilfælde a og b, men ikke for c og d. Problemet er så at skrive dette som en ikke alt for uoverskuelig definition. For et globalt maksimum kan der være tale om flere x-værdier, hvor funktionen antager maksimumværdien, herunder også et plateau. For det lokale maksimum kan der på samme måde være tale om et plateau. Problemet er at skrive definitionen, så plateauet kommer med som lokalt maksimum, men uden af d bliver tilladt.

#9

Den eneste reelle forskel på de to definitioner er netop det, du spørger om i #0: Hvorfor < i den første og ≤ i den anden?

Et eksempel: f(x) = 1 for 1<x<2 og 0 ellers. Ifølge den første definition er der ikke noget lokalt maksimum, mens den har lokalt maksimum for alle x i intervallet ]0;1[. De to definitioner giver ikke samme resultat.

f(x) har, med den anden definition og den tilsvarende for lokalt minimum, både lokalt maksimum og lokalt minimum i det nævnte interval. Dette passer med at funktionen g(x) = 1 har både globalt maksimum og globalt minimum = 1, og antager det for alle x.

I eksemplet du nævner bør der ikke gælde, at ifølge den første definition er der ikke noget lokalt maksimum, mens den har lokalt maksimum for alle x i intervallet ]1;2[

#13 Jo, jeg har lavet en fejl. Det er selvfølgelig ]1;2[.