Matematik

Differentialligninger hjælp.

28. februar 2019 af Kraes4 - Niveau: A-niveau

Hej,

Jeg har lidt svært ved disse to opgaver.
Er det meningen at jeg skal integrere ligningen? og hvad repræsenterer f(1/2pi) ?

skal cos(x) betragtes som den ydre funktion?

Hvis nogen kunne pege mig retningen af regnereglerne jeg skal bruge ville det være en stor hjælp.

Vedhæftet fil: mata.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. februar 2019 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. februar 2019 af mathon

625
$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! f(x)=\int x\cdot \cos(2x)\, \mathrm{d}x= \tfrac{1}{2}\sin(2x)\cdot x-\tfrac{1}{2}\int \sin(2x)\cdot 1\, \mathrm{d}x= \tfrac{1}{2}x\sin(2x)-\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}\cdot\left ( -\cos(2x) \right )+k=$

$\small \tfrac{1}{2}x\sin(2x)+\tfrac{1}{4}\cos(2x)+k$
og

$\small f\left ( \tfrac{\pi }{2} \right )= \small \tfrac{1}{2}\cdot \left (\tfrac{\pi }{2} \right )\cdot \sin(\pi )+\tfrac{1}{4}\cos(\pi )+k =\tfrac{1}{2}f(\pi )$

$\small \tfrac{\pi }{4}\cdot 0+\tfrac{1}{4}\cdot (-1)+k=\tfrac{1}{4}\cdot \pi \cdot 0+\tfrac{1}{8}\cdot 1+\tfrac{1}{2}k$

$\small -\tfrac{1}{4}+k= \tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{2}k$

$\small \tfrac{1}{2}k=\tfrac{1}{8}+\tfrac{2}{8}=\tfrac{3}{8}$

$\small k=\tfrac{3}{4}$
hvoraf:
$\small f(x)= \small \tfrac{1}{2}x\sin(2x)+\tfrac{1}{4}\cos(2x)+\tfrac{3}{4}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. februar 2019 af mathon

630
$\small f{\, }'(x)=e^x-\cos(x)+\sin(x)+k_1$

$\small f{\, }'(0)=1-\cos(0)+\sin(0)+k_1=1$ ?

$\small 1-\cos(0)+\sin(0)+k_1=1$

$\small 1-1+0+k_1=1$

$\small k_1=1$
hvoraf:
$\small f{\, }'(x)=e^x-\cos(x)+\sin(x)+1$

$\small f(x)=e^x-\sin(x)-\cos(x)+x+k_2$

$\small f(0)=1-\sin(0)-\cos(0)+0+k_2=2$

$\small 1-0-1+0+k_2=2$

$\small k_2=2$
hvoraf:
$\small f(x)=e^x-\sin(x)-\cos(x)+x+2$

Svar #4
28. februar 2019 af Kraes4

Tak for hjælpe Mathon.
Men i 630, har du set at den skal dobbelt integreres? Er selv i tvivl om hvad det betyder, og om du gør det i dit svar.

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. februar 2019 af mathon

$\small f{\, }'(x)=\int\left ( e^x+\sin(x)+\cos(x)\right ) \mathrm{d}x$

$\small f{\, }'(x)=e^x-\cos(x)+\sin(x)+k_1$

$\small f{\, }'(0)=1-\cos(0)+\sin(0)+k_1=1$

$\small 1-\cos(0)+\sin(0)+k_1=1$

$\small 1-1+0+k_1=1$

$\small k_1=1$
hvoraf:
$\small f{\, }'(x)=e^x-\cos(x)+\sin(x)+1$

$\small f(x)=\int\left ( e^x-\cos(x)+\sin(x)+1 \right ) \mathrm{d}x$

$\small f(x)=e^x-\sin(x)-\cos(x)+x+k_2$

$\small f(0)=1-\sin(0)-\cos(0)+0+k_2=2$

$\small 1-0-1+0+k_2=2$

$\small k_2=2$
hvoraf:
$\small f(x)=e^x-\sin(x)-\cos(x)+x+2$

Svar #6
28. februar 2019 af Kraes4

Okay, jeg kigger på det! tak for hjælpen!

Brugbart svar (0)

Svar #7
28. februar 2019 af AMelev

#0 Partiel integration er ikke kernestof, men det kan jo godt være, I har det som supplerende stof. Er det meningen, du skal løse sifferentialligningen "i hånden"?

Hvis ja, skal du bruge partiel (delvis) integration på x·cos(2x) og sammensat funktion på cos(2x).
$f(x)=\int g(x)\cdot h(x)dx + k=g(x)\cdot H(x)-\int g'(x)\cdot H(x)dx+k$
Vælg g(x) = x og h(x) = cos(2x). Løs derefter f(½π) = ½f(π) mht. k.

I opg. 2 finder du først $f'(x)=\int f''(x)dx + k$ og løser derefter ligningen f '(0) = 1 mht. k.
Derefter bestemmer du $f(x)=\int f'(x)dx + c$ og løser derefter ligningen f(0) = 2 mht. c.

Brug dit CAS-værktøj - om ikke andet, så til tjek.

Svar #8
28. februar 2019 af Kraes4

Vi må gerne bruge CAS.

Tak for rådene, jeg prøver at kigge på det imorgen! Jeg er meget forvirret af dobbelt integration. Finder ikke noget om det når jeg googler. Skal det forståes sådan at den integrede funktion stadig er f'(x)? og skal derfor integreres igen?
Det er hvad jeg udleder af dit svar ihvertfald.
Men mange tak!

Brugbart svar (0)

Svar #9
28. februar 2019 af mathon

Skal det forstås sådan, at den integrede funktion stadig er f'(x) og skal derfor integreres igen? Ja!

Brugbart svar (0)

Svar #10
28. februar 2019 af AMelev

#9 f ''(x) = (f ')'(x), så f '(x) = ∫(f ')'(x))dx + k

Med CAS kan du bare løse differentialligningerne med de givne randbetingelser.
Hvordan du præcis gør det afhænger af, hvilket CAS-værktøj, du bruger.

Svar #11
01. marts 2019 af Kraes4

Mange tak for hjælpen!!

Skriv et svar til: Differentialligninger hjælp.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.