Matematik

Matematik A

13. marts 2019 af Problemeroveralt - Niveau: Universitet/Videregående

Lad I ⊆ R være et ikke-tomt, åbent interval, og lad f : I --> R være en differentiabel funktion, hvor f(x) ≠ 0 for ethvert x ∈ I

Ved den logaritmisk afledende af funktionen f forstås funktionen f* : I --> R, hvor

∀ x ∈ I : f*(x) = f´(x)/f(x)

Vi siger da, at f er logaritmisk differentiabel.

Antag, at f og g er to logaritmisk differentiable funktioner, som er defineret på intervallet I. Vis, at da er funktionerne fg og [\frac{f}{g}] logaritmisk differentiable, og at man har, at

(fg)*=f*+g* og (f/g)* = f*- g*.

--> Jeg sidder fast i denne opgave, er meget usikker på, hvad der bliver bedt om i denne opgave og hvad betyder (*) symbol?

Nogle der gider bruge deres tid og hjælpe mig med denne opgave ?

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. marts 2019 af mathon

Antag, at f og g er to logaritmisk differentiable funktioner, som er defineret på intervallet I.?

dvs
$\small f^*(x)=\frac{f{\, }'(x)}{f(x)}\qquad\textup{og}\qquad g^*(x)=\frac{g{\, }'(x)}{g(x)}$

hvoraf:
$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \small \left (f(x)\cdot g(x) \right )^*=\frac{\left (f(x)g(x) \right ){\, }'}{f(x)g(x)}=\frac{f{\, }'(x)g(x)+f(x)g{\, }'(x)}{f(x)g(x)}=\frac{f{\, }'(x)}{f(x)}+\frac{g{\, }'(x)}{g(x)}=f^*(x)+g^*(x)$

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \left (\frac{f(x)}{g(x)} \right )^*=\frac{\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right ){\, }'}{ \frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\frac {f{\, }'(x)g(x)-f(x)g{\, }'(x)}{g^2(x)}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{f{\, }'(x)g(x)-f(x)g{\, }'(x)}{f(x)g(x)}=\frac{f{\,}' (x)}{f(x)}-\frac{g{\, }'(x)}{g(x)}=f^*(x)-g^*(x)$

Svar #2
13. marts 2019 af Problemeroveralt

Mathon, mange tak

"Antag, at f og g er to logaritmisk differentiable funktioner, som er defineret på intervallet I.?" --> ja, det er, hvad der blev spurgte om i "Matematik - idé og indsigt- Differential- og integralregning - rækker og differentialligninger, af Mogens Nørgaard Olesen" bogen.

Jeg forstår stadigvæk ikke, hvad du har gjort her og er det muligt at lige fortælle mig med et par ord, hvad du gør?

f(mærke) betyder den aflede funtion, men hvad betyder f(stjerne) ?

Så ved jeg forstår er at jeg skal VISE hvordan funktionerne fg og f/g logaritmisk differentiable --> bliver til denne sætning: (fg)*=f*+g* og (f/g)* = f*- g*.

Brugbart svar (2)

Svar #3
13. marts 2019 af oppenede

Ved f* forstås funktionen med forskrift
f*(x) = f´(x)/f(x) ∀ x ∈ I

Dvs. det er den afledede af ln(f(x)):
$f^*(x)=\frac{d}{dx}\ln(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}$

Dermed gælder
$\\(fg)^*(x)=\frac{d}{dx}\ln(f(x)g(x)) =\frac{d}{dx}\ln(f(x))+\frac{d}{dx}\ln(g(x)) =f^*(x)+g^*(x) \\[0.08cm](f/g)^*(x)=\frac{d}{dx}\ln(f(x)/g(x)) = \frac{d}{dx}\left(\ln(f(x))-\ln(g(x)) \right )=f^*(x)-g^*(x)$

Svar #4
13. marts 2019 af Problemeroveralt

Oppende, tusind tak for din forklaring, det giver lidt mere mening for mig nu.

Skriv et svar til: Matematik A

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.