Matematik

Stamfunktion til f(x)=2√x-2/3x

02. november 2019 af SofieAmalieJensen - Niveau: A-niveau

Hej, jeg har fået stillet følgende opgave, se vedhæftet. Men når jeg prøver at vise det ved at differentiere F(x) får jeg ikke f(x). Jeg får: F'(x)=4/6*√x-2/3x

Når jeg så omvendt forsøger at integrere f(x), får jeg F(x)=4/3x(√x)^3-1/3x^2. Det er lidt tættere på, men jeg ved stadig ikke hvad jeg har gjort forkert. Jeg håber der er nogen der kan hjælpe mig.

Tak på forhånd.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2019-11-02 kl. 08.07.43.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. november 2019 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. november 2019 af mathon

$\small \begin{array}{llll} &F(x)&=\frac{4}{3}x\sqrt{x}-\frac{1}{3}x^2\\\\ &F{\, }'(x)&=\frac{4}{3}\cdot \sqrt{x}+\frac{4}{3}x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{3}x=\\\\ &&\frac{4}{3}\sqrt{x}+\frac{4}{3}\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{3}x=\\\\ &&\frac{4}{3}\sqrt{x}+\frac{2}{3}\sqrt{x}-\frac{2}{3}x=\\\\ &&2\sqrt{x}-\frac{2}{3}x\\\\ \textup{hvis }F_0(x)&\textup{er }\mathrm{\acute{e}}\textup{n} &\textup{stamfunktion til }f(x)\\\\ \textup{er m\ae ngden}&\textup{af}&\textup{stamfunktioner til } f(x)\; F_k(x)=F_0(x)+k \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. november 2019 af mathon

eller

$\small \small \begin{array}{llll} &F(x)=&\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}x^2\\\\ &F{\, }'(x)=&\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}-\frac{2}{2}}-\frac{1}{3}\cdot 2\cdot x=\\\\ &&2x^{\frac{1}{2} }-\frac{2}{3}x=\\\\&&2\sqrt{x}-\frac{2}{3}x \\\\ \textup{hvis }F_0(x)&\textup{er }\mathrm{\acute{e}}\textup{n} &\textup{stamfunktion til }f(x)\\\\ \textup{er m\ae ngden}&\textup{af}&\textup{stamfunktioner til } f(x)\; F_k(x)=F_0(x)+k \end{array}$

Svar #4
02. november 2019 af SofieAmalieJensen

#2
$\small \begin{array}{llll} &F(x)&=\frac{4}{3}x\sqrt{x}-\frac{1}{3}x^2\\\\ &F{\, }'(x)&=\frac{4}{3}\cdot \sqrt{x}+\frac{4}{3}x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{3}x=\\\\ &&\frac{4}{3}\sqrt{x}+\frac{4}{3}\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{3}x=\\\\ &&\frac{4}{3}\sqrt{x}+\frac{2}{3}\sqrt{x}-\frac{2}{3}x=\\\\ &&2\sqrt{x}-\frac{2}{3}x\\\\ \textup{hvis }F_0(x)&\textup{er }\mathrm{\acute{e}}\textup{n} &\textup{stamfunktion til }f(x)\\\\ \textup{er m\ae ngden}&\textup{af}&\textup{stamfunktioner til } f(x)\; F_k(x)=F_0(x)+k \end{array}$

Men skal √x ikke differentieres til 1/2√x?

Brugbart svar (1)

Svar #5
02. november 2019 af mathon

...hvilket den også blev 1/(2√(x))

Svar #6
03. november 2019 af SofieAmalieJensen

#5
...hvilket den også blev 1/(2√(x))

I anden linje kan jeg godt se at du har differenteret 3/4x til 3/4 og √x til 1/2√x og -1/3x^2 til -2/3x, men hvorfor har du et ekstra √x i den linje?

Brugbart svar (1)

Svar #7
03. november 2019 af ringstedLC

#6: Du skal differentiere et produkt:

$\begin{align*} \left (\tfrac{4}{3}x\sqrt{x}\right )' &= \left (\tfrac{4}{3}x\right )'\cdot \sqrt{x}+\tfrac{4}{3}x\cdot \left (\sqrt{x}\right )' \end{align*}$

Svar #8
03. november 2019 af SofieAmalieJensen

#7
#6: Du skal differentiere et produkt:

$\begin{align*} \left (\tfrac{4}{3}x\sqrt{x}\right )' &= \left (\tfrac{4}{3}x\right )'\cdot \sqrt{x}+\tfrac{4}{3}x\cdot \left (\sqrt{x}\right )' \end{align*}$

nåå okay, tusind tak! det giver mening:)

Skriv et svar til: Stamfunktion til f(x)=2√x-2/3x

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.