Matematik

Egenværdi og egenvektor

24. marts 2020 af Soff123 - Niveau: A-niveau

Jeg er i gang med at skrive SRP i matematik og dansk, hvor jeg arbejder meget med matricer og herindunder egenværdi og egenvektor. Jeg har ikke haft om egenværdi og egenvektor før, og meget af det materiale jeg har fundet, synes jeg ikke umiddelbart, at jeg kan få til at give mening. Jeg har derfor svært ved at forklare hvad det er og hvordan man kan regne det ud. Jeg håber der er nogle her, som kan give en lidt mere dybdegående forklaring, så jeg kan få det til at give mening når jeg skal forklare om det


Brugbart svar (0)

Svar #1
24. marts 2020 af Brusebad

Du skriver, at egenværdier og egenvektorer er nye for dig. Hvad med matricer?

Hvis vi har en n x n matrix A, er du så med på, at det giver dig en linear afbildning? 


Svar #2
24. marts 2020 af Soff123

Ja, jeg har ret godt styr på matricer


Brugbart svar (0)

Svar #3
24. marts 2020 af Brusebad

Ok. Så hvis vi har en n x n matrix A og en n dimensionel reel vektor v, så er v en egenvektor for den lineære afbildning hørende til A (eller bare en egenvektor for A) hvis

Av = av

for et eller andet reelt tal a. Med andre ord, v er en egenvektor for A hvis A virker på v ved at scalere v med a.

Scaleringsfaktoren a er en egenværdi.


Brugbart svar (0)

Svar #4
24. marts 2020 af Brusebad

I forhold til udregninger, så er det ikke altid lige til. Den umiddelbare observation er følgende:

Ligningen:

Av = av

kan omskrives til

(A - Ia) v = 0

hvor I er identitetsmatricen (dvs. Ia er en matrix med værdien a på diagonalen).

Hvis A - Ia er bijektiv, så er det kun 0 der sendes i 0, dvs. der findes ingen v ≠ 0, så ligningen er opfyldt.

Vi er derfor interesseret i værdier af a for hvilke A - Ia ikke er bijektiv, dvs. hvor der findes v ≠ 0 så ligningen er opfyldt. En måde at afgøre på om en matrix er bijektiv er ved hjælp af determinanten (som jeg går ud fra, at du kender). Vi er derfor interesseret i at løse ligningen

det( A - Ia) = 0

her er venstresiden er et polynomium. Værdier af a som løser denne ligning giver anledning til eksistens af (flere) v ≠ 0, så (A - Ia)v = 0 eller tilsvarende Av = av. Med andre ord værdier af a som løser det( A - Ia) = 0 er egenværdier.


Skriv et svar til: Egenværdi og egenvektor

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.