Matematik

Funktionsrækker

16. maj 2020 af Bruthos - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg er stillet følgende opgave:

og vil gerne have hjælp til c)

Jeg håber der er nogle venlige sjæle, der har lyst til at hjælpe.

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. maj 2020 af swpply (Slettet)

Delopgave b) er korrekt og det er også korrekt at somfunktionen er givet ved

$f(x) = -\frac{1}{2}\log\big(1-x^2\big),$

eftersom at vi fra a) har at rækken konvergere uniformt. Men resten af din løsning til delopgave c) er desvære lodret forkert på ét meget fundementalt niveau (hvad betyder grænsen $n\rightarrow\infty$ overhovedet i denne sammenhæng?). Istedet skal du blot indse at

$\begin{align*} f\big(1/\sqrt{2}\big) &= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n}\bigg(\frac{1}{\sqrt{2}}\bigg)^{2n} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^nn} \end{align*}$

samt at

$\begin{align*} f\big(1/\sqrt{2}\big) &= -\frac{1}{2}\log\bigg(1 - \frac{1}{2}\bigg) \\ &=\frac{1}{2}\log(2) \end{align*}$

Hvorfor at

$\begin{align*} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^nn} &= 2f\big(1/\sqrt{2}\big) \\ &= \log(2) \end{align*}$

Skriv et svar til: Funktionsrækker

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.