Matematik

Taylorrækker

28. maj kl. 20:53 af Bruthos - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg sidder med følgende opgave og har brug for hjælp.

I a) har jeg prøvet at lave et induktionsbevis

For n=1 er:

 f(x)=f(-x)\\ f'(x)=-f'(x)\\ x=0 \rightarrow 2f'(0)=0 \rightarrow f'(0)=0

Induktionsantagelse: f^{2n-1}(0)=0

Jeg ved herefter ikke hvordan jeg skal bruge induktionsantagelsen i induktionsskridtet.

Min eneste tanke er f^{2(n+1)-1}(0)=(f^{2n-1}(0))''=0''=0 men det tror jeg er forkert. Behøver jeg at bruge induktionsantagelsen?

I b) kan jeg slet ikke se hvad skal gøre, selvom jeg tror,at jeg skal bruge resultatet i a)

På forhånd tak for hjælpen


Brugbart svar (0)

Svar #1
28. maj kl. 21:50 af peter lind

a) hvis f(x) er en lige funktion er der maksimum elle minimum i 0  og dermed varierer f'(x) + 0 - eller - 0 +

f'(x) er derfor en ulige funktion. På tilsvarende måde kan du vise at hvis f er en lige funktion med 0 punkt i 0 er f'(x) en ulige funktion

b) I taylorrækken vil alle led være af formen k*x2n


Svar #2
28. maj kl. 22:15 af Bruthos

I a) forstår jeg ikke, hvordan du kan konkludere, at a_{2n-1}=0 for alle n \in \mathbb{N} ? Jeg kan godt se, at det gælder for n=1, men skal man ikke lave induktionsbevis, så det gælder for alle  n \in \mathbb{N}? Kan du evt. uddybe?

I b) ser vi på led af formen k*x^{2n}, fordi alle de ulige led er lig 0, fordi a_{2n-1}=0?

Betyder det at f(x)=f(-x), fordi alle ledene i rækken bliver opløftet i en potens med 2?


Brugbart svar (0)

Svar #3
28. maj kl. 22:48 af peter lind

Det induktionsbevis kan du selv let lave

du beviser at

f er en  lige funktion => f'(x) er en ulige funktion

f er en ulige funktion med  0 punkt i 0 => f'(x) er en lige funktion

Du antager at det gælder for f(n)(x) er en lige(ulige) funktion Det medfører så at f(n+1)(x) er en ulige(lige) funktion


Skriv et svar til: Taylorrækker

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.