Matematik

Stamfunktion

30. januar 2021 af Emilie76 - Niveau: A-niveau

Hej en der kan hjælpe mig?

En funktion f; er givet ved

f(x) = ln(x) + 6*x^2, 0 < x;

a) Bestem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet
P(1, 5);

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. januar 2021 af StoreNord

Check din formelsamling for at se, hvad der er stamfunktion til ln(x).

https://plusbhf.systime.dk/?id=1620

Svar #2
30. januar 2021 af Emilie76

Det har jeg gjort. Synes bare ikke det giver mening

Svar #3
31. januar 2021 af Emilie76

Kan dette kan passe og hvordan kommer jeg videre herfra

f(x) = ln(x) = F(x) = 1/x = x^-1

f(x) = 6*x^2 = F(x) = x^3;

Stamfunktionen er F(x) = y and y = 1/x + x^3;

Brugbart svar (0)

Svar #4
02. februar 2021 af ringstedLC

#3: Du kan kontrollere din integration ved at gøre prøve:

$\begin{array} {lllll} \int \!f(x)\,\mathrm{d} x&=F(x) \\ &\Rightarrow F'(x)&=f(x) \\ \int \!\ln(x)+6x^2\,\mathrm{d}x&=\tfrac{1}{x}+x^3 \\ & \Rightarrow \left (\tfrac{1}{x}\right )'+\left (x^3\right )'&=\ln(x)+6x^2 \\ &\quad \;\left (\tfrac{1}{x}\right )'+3x^2 &\neq \left (\tfrac{1}{x}\right )'+6x^2 \end{array}$

Dit resultat er altså forkert!

Brugbart svar (1)

Svar #5
02. februar 2021 af ringstedLC

$\begin{align*} f(x) &= \ln(x)+6x^2\;,\;0<x \\ F(x) &= \int \!\ln(x)\,\mathrm{d} x+\int \!6x^2\,\mathrm{d}x \\ \int \!\ln(x)\,\mathrm{d} x &=x\cdot \ln(x)-x\qquad\text{formel (149)} \\ \int\!ax^{n} &= a\cdot \tfrac{1}{n\,+\,1}\,x^{n\,+\,1}\;,\;n\neq -1\qquad \text{formel (148) og (153) i kombination} \\ \int \!6x^2\,\mathrm{d}x &= 6\cdot \tfrac{1}{2\,+\,1}\,x^{2\,+\,1} \\ F(x)&= \left (x\cdot \ln(x)-x+k_1 \right )+\bigl (2x^3+k_2 \bigr ) \\ F(x)&= x\cdot \ln(x)-x+2x^3+k \end{align*}$

Nu findes den af stamfunktionerne, der går gennem P:

$\begin{align*} F(x_P)=y_P &=x_P\cdot \ln(x_P)-x_P+2{x_P}^3+k \\ F(1)=5 &=1\cdot \ln(1)-1+2\cdot 1^3+k\quad \Rightarrow k=\;? \\ F_P(x) &=...\end{align*}$

Svar #6
03. februar 2021 af Emilie76

#5
$\begin{align*} f(x) &= \ln(x)+6x^2\;,\;0<x \\ F(x) &= \int \!\ln(x)\,\mathrm{d} x+\int \!6x^2\,\mathrm{d}x \\ \int \!\ln(x)\,\mathrm{d} x &=x\cdot \ln(x)-x\qquad\text{formel (149)} \\ \int\!ax^{n} &= a\cdot \tfrac{1}{n\,+\,1}\,x^{n\,+\,1}\;,\;n\neq -1\qquad \text{formel (148) og (153) i kombination} \\ \int \!6x^2\,\mathrm{d}x &= 6\cdot \tfrac{1}{2\,+\,1}\,x^{2\,+\,1} \\ F(x)&= \left (x\cdot \ln(x)-x+k_1 \right )+\bigl (2x^3+k_2 \bigr ) \\ F(x)&= x\cdot \ln(x)-x+2x^3+k \end{align*}$

Nu findes den af stamfunktionerne, der går gennem P:

$\begin{align*} F(x_P)=y_P &=x_P\cdot \ln(x_P)-x_P+2{x_P}^3+k \\ F(1)=5 &=1\cdot \ln(1)-1+2\cdot 1^3+k\quad \Rightarrow k=\;? \\ F_P(x) &=...\end{align*}$

Tusind tak for hjælpen. Jeg ved at svaret skal give F(x )= x * ln(x) - x + 2x^3 + 4. Hvordan kommer jeg videre fra F(1) = 5 = ln(1) - 1 + 2*1^3 + k til svaret

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. februar 2021 af ringstedLC

Når jeg i #5 skriver:

$\begin{align*} ... &= ...+k\quad\Rightarrow k=\;? \end{align*}$

menes der: Løs ligningen mht. k. Når jeg nedenunder skriver: =..., menes der: Bestem udtrykket.

Svar #8
03. februar 2021 af Emilie76

#7
Når jeg i #5 skriver:

$\begin{align*} ... &= ...+k\quad\Rightarrow k=\;? \end{align*}$

menes der: Løs ligningen mht. k. Når jeg nedenunder skriver: =..., menes der: Bestem udtrykket.

5 = ln(1) - 1 + 2*1^3 + k;
5 + 1 - 2*1^3 = 4
k = 4;

Er det rigtigt??

Brugbart svar (0)

Svar #9
03. februar 2021 af ringstedLC

Det passer jo med facit, men metoden er forkert fordi k forsvinder ud af ligningen. Jeg håber ikke, at du plejer opstille mellemregninger sådan. Udregningen kunne være:

$\begin{align*} 5 &= \ln(1)-1+2\cdot 1^3+k \\ 5 &= 0-1+2\cdot 1+k \\ 5 &=-1+k \\ k &= 4 \end{align*}$

Den ubekendte skal gå igen i alle linjer.

Skriv et svar til: Stamfunktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.