Matematik

Faktorisering

22. maj 2021 af sandrai - Niveau: B-niveau

Hej

Jeg sidder lige og læser om faktorisering og andengradspolynomier

Men hvad er det lige man bruger faktoriseringen til, sådan helt præcis?

For ved en andengradslinging ef det vel nok bare at finde diskriminanten også regne nulpunkterne ud, også kan man benytte dem til at løse andengradslingningen, men hvor kommer faktoriseringen så ind i billedet henne?

Jeg er lidt forvirret :-)

Mvh Sandra

Brugbart svar (1)

Svar #1
22. maj 2021 af mathon

Er diskriminanten d > 0
kan andengradspolynomiet ax² + bx+c med rødderne/nulpunkterne x₁ og x₂
faktoriseres:
$\small ax^2+bx+c=a\cdot \left ( x-x_1 \right )\cdot \left ( x-x_2 \right )$

Er diskriminanten d = 0
kan andengradspolynomiet ax² + bx+c med rødder(ne)/nulpunkter(ne) x₁ og x₁(dobbeltrod)
faktoriseres:
$\small ax^2+bx+c=a\cdot \left ( x-x_1 \right )^2$

Er diskriminanten d > 0
kan andengradspolynomiet ax² + bx+c med rødderne/nulpunkterne x₁ og x₂
faktoriseres:
$\small ax^2+bx+c=a\cdot \left ( x-x_1 \right )\cdot \left ( x-x_2 \right )$

Er diskriminanten d < 0
kan andengradspolynomiet ax² + bx+c ikke
faktoriseres.

Svar #2
22. maj 2021 af sandrai

#1
Er diskriminanten d > 0
kan andengradspolynomiet ax2 + bx+c med rødderne/nulpunkterne x1 og x2
faktoriseres:

Er diskriminanten d = 0
kan andengradspolynomiet ax2 + bx+c med rødderne/nulpunkterne x1 og x1
faktoriseres:

Er diskriminanten d > 0
kan andengradspolynomiet ax2 + bx+c med rødderne/nulpunkterne x1 og x2
faktoriseres:

Er diskriminanten d < 0
kan andengradspolynomiet ax2 + bx+c ikke
faktoriseres.

Ja det har jeg læst om, men hvad for man ud af at bruge faktoriseringen hvorfor gør man det og hvad er dens betydning? :-)

Brugbart svar (1)

Svar #3
22. maj 2021 af mathon

Ofte foreligger en opgave med en tredjegradsfunktion

$\small f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

$\small f{\, }'(x)=3ax^2+2bx+c$

For at finde monotonien for $\small f(x)$ , er det praktisk
at have $\small f{\, }'(x)$ faktoriseret, da det letter bestemmelsen af
fortegnsvariationen for $\small f{\, }'(x)$ , som er bestemmende for
f(x)'s monotoniforhold.

Svar #4
22. maj 2021 af sandrai

#3
Ofte foreliger en opgave med en tredjegradsfunktion





For at finde monotonien for , er det praktisk
at have  faktoriseret, da det letter bestemmelsen af
fortegnsvariationen for , som er bestemmende for
f(x)'s monotoniforhold.

Ja okay mange tak :-)

Brugbart svar (1)

Svar #5
23. maj 2021 af mathon

korrektion for rod i #1:

Er diskriminanten d > 0
kan andengradspolynomiet ax² + bx+c med rødderne/nulpunkterne x₁ og x₂
faktoriseres:
$\small ax^2+bx+c=a\cdot \left ( x-x_1 \right )\cdot \left ( x-x_2 \right )$

Er diskriminanten d = 0
kan andengradspolynomiet ax² + bx+c med rødder(ne)/nulpunkter(ne) x₁ og x₁(dobbeltrod)
faktoriseres:
$\small ax^2+bx+c=a\cdot \left ( x-x_1 \right )^2$

Er diskriminanten d < 0
kan andengradspolynomiet ax² + bx+c ikke
faktoriseres.

Svar #6
23. maj 2021 af sandrai

#5
korrektion for rod i #1:

Er diskriminanten d > 0
kan andengradspolynomiet ax2 + bx+c med rødderne/nulpunkterne x1 og x2
faktoriseres:

Er diskriminanten d = 0
kan andengradspolynomiet ax2 + bx+c med rødder(ne)/nulpunkter(ne) x1 og x1 (dobbeltrod)
faktoriseres:

Er diskriminanten d < 0
kan andengradspolynomiet ax2 + bx+c ikke
faktoriseres.

Jeg skal lave en fremlæggelse omkring andengradspolynomier og der står jeg bare skal omtale faktorisering, hvordan kan jeg gøre dette bedst?

Brugbart svar (1)

Svar #7
23. maj 2021 af mathon

...ved at bevise at et andengradspolynomium med d ≥ 0 kan faktoriseres.

Brugbart svar (1)

Svar #8
23. maj 2021 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{lllllll}& ax^2+bx+c=a\cdot \left ( x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right )\quad a\neq0\quad d> 0\\\\ \textup{og r\o dderne}&x_1\textup{ og }x_2\\\\ \textup{med kendskab til}&\frac{b}{a}=-\left (x_1+x_2 \right )\textup{ og }\frac{c}{a}=x_1\cdot x_2\\\\ \textup{hvoraf:}\\& a\cdot \left ( x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right )=a\cdot \left ( x^2-\left ( x_1+x_2 \right ) x+x_1\cdot x_2\right )=\\\\& a\cdot \left ( x^2-x_1x -x_2x+x_1\cdot x_2\right )=a\cdot \left ( x(x-x_1) -x_2\left ( x-x_1 \right )\right )=\\\\\\& a\cdot \left (x-x_1\right)\cdot \left( x-x_2 \right ) \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #9
24. maj 2021 af mathon

$\begin{array}{llllll} &\textup{r\o dder:}\\&& x_1=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}\\\\& \textup{rodsum:}\\&& x_1+x_2=\frac{-b-\sqrt{d}+-b+\sqrt{d}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\\\\&& \frac{b}{a}=-(x_1+x_2)\\\\\\& \textup{rodprodukt:}\\&& x_1\cdot x_2=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}\cdot \frac{-b+\sqrt{d}}{2a}=\frac{b^2-d}{4a\cdot a}=\frac{b^2-(b^2-4a\cdot c)}{4a\cdot a}=\frac{4a\cdot c}{4a\cdot a}=\frac{c}{a} \end{array}$

Svar #10
24. maj 2021 af sandrai

Tak

Kqn jeg forklar det på en hurtig måde, da jeg kun har 5 min til at forklare om
Andengradspolynomier og graferne også skal jeg omtale faktoriseringen

Min opgave lyder sådan

Polynomier?Redegør for løsning af andengradsligninger. Vis sammenhængen mellem løsning af andengradsligning og andengradspolynomiets graf. Omtal faktorisering af. andengradspolynomiet.

Og jeg har 5 min til at tale om dette, også for jeg 5 min spørgsmål

Brugbart svar (1)

Svar #11
24. maj 2021 af mathon

omtale faktorisering betyder,
at du i "forbifarten" skal nævne:

$\small \small \begin{array}{llll} ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)&\textup{n\aa r }d> 0& \textup{og }x_1\textup{ og } x_2 \textup{ er r\o dderne,}\\&& \textup{som du har fundet ved brug af l\o sningsformlen,}\\&& \textup{i den f\o rste del af sp\o rgsm\aa let.} \end{array}$

Svar #12
24. maj 2021 af sandrai

Tak okay, jeg skal ikke sige mere der så :-)

Skriv et svar til: Faktorisering

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.