Matematik

Fourierækker

16. juni kl. 22:17 af K22 - Niveau: Universitet/Videregående

Hejsa. Er der nogen, der kan hjælpe mig med disse opgaver? :)


Brugbart svar (0)

Svar #1
17. juni kl. 14:19 af Soeffi

#0.

q


Brugbart svar (0)

Svar #2
17. juni kl. 21:19 af jl9

a) må være til at lave, f(x) har ingen imaginær del


Brugbart svar (1)

Svar #3
18. juni kl. 16:43 af Soeffi

#0.

a) Fourierrækken har koefficienterne :

a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi }^{\pi }x\cdot sin(x)dx=2

a_1=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi }^{\pi }x\cdot sin(x)\cdot cos(2x) dx=-\frac{1}{2}

a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi }^{\pi }x\cdot sin(x)\cdot cos(nx) dx=2\cdot \frac{(-1)^{n+1}}{n^2-1},\;n>1

b_n=0, \;da\; f\; er\; lige.

Dette giver Fourierrækken:

f(x)=1-\frac{1}{2}\cdot cos(x)+2\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2-1}\cdot cos(n\cdot x),\;-\pi\leq x<\pi

...c)...

x·sin(x) = 0 for x = π. Dette medfører:

f(\pi)=0\Rightarrow 1-\frac{1}{2}\cdot cos(\pi)+2\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2-1}\cdot cos(n\cdot \pi)=0\Rightarrow

1+\frac{1}{2}+2\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2-1}\cdot (-1)^{n}=0 \Rightarrow 2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2n+1}}{n^2-1}=-\frac{3}{2}\Rightarrow

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{n^2-1}=-\frac{3}{4}\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}=\frac{3}{4}


Brugbart svar (1)

Svar #4
18. juni kl. 20:55 af Soeffi

#3...rettelse: n=2:

f(x)=1-\frac{1}{2}\cdot cos(x)+2\cdot \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2-1}\cdot cos(n\cdot x),\;-\pi\leq x<\pi

...

f(\pi)=0\Rightarrow 1-\frac{1}{2}\cdot cos(\pi)+2\cdot \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2-1}\cdot cos(n\cdot \pi)=0\Rightarrow

1+\frac{1}{2}+2\cdot \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2-1}\cdot (-1)^{n}=0 \Rightarrow 2 \cdot \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{2n+1}}{n^2-1}=-\frac{3}{2}\Rightarrow

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{-1}{n^2-1}=-\frac{3}{4}\Rightarrow \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}=\frac{3}{4}


Brugbart svar (1)

Svar #5
27. juni kl. 17:48 af Soeffi

#3...c) Et andet bevis (teleskopisk række):

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n-1)}=\frac{1}{2} \cdot \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}=

\frac{1}{2} \cdot \left ( \left ( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right ) + \left ( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right ) + \left ( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right )+ \left ( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right )+... \right ) =

\frac{1}{2} \cdot \left ( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \right ) =\frac{3}{4}


Brugbart svar (1)

Svar #6
28. juni kl. 12:29 af Soeffi

#5...evt.:

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n-1)}=\frac{1}{2} \cdot \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}=

\frac{1}{2} \cdot \left ( \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n-1} - \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n+1} \right ) =\frac{1}{2} \cdot \left ( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} - \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n} \right ) =

\frac{1}{2} \cdot \left (\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+ \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n} - \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n} \right ) =\frac{1}{2} \cdot \left (\frac{1}{1}+\frac{1}{2} +0\right ) =\frac{3}{4}


Skriv et svar til: Fourierækker

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.