Matematik

Fourierækker

16. juni 2021 af K22 - Niveau: Universitet/Videregående

Hejsa. Er der nogen, der kan hjælpe mig med disse opgaver? :)


Brugbart svar (0)

Svar #1
17. juni 2021 af Soeffi

#0.

q


Brugbart svar (0)

Svar #2
17. juni 2021 af jl9

a) må være til at lave, f(x) har ingen imaginær del


Brugbart svar (1)

Svar #3
18. juni 2021 af Soeffi

#0.

a) Fourierrækken har koefficienterne :

a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi }^{\pi }x\cdot sin(x)dx=2

a_1=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi }^{\pi }x\cdot sin(x)\cdot cos(2x) dx=-\frac{1}{2}

a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi }^{\pi }x\cdot sin(x)\cdot cos(nx) dx=2\cdot \frac{(-1)^{n+1}}{n^2-1},\;n>1

b_n=0, \;da\; f\; er\; lige.

Dette giver Fourierrækken:

f(x)=1-\frac{1}{2}\cdot cos(x)+2\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2-1}\cdot cos(n\cdot x),\;-\pi\leq x<\pi

...c)...

x·sin(x) = 0 for x = π. Dette medfører:

f(\pi)=0\Rightarrow 1-\frac{1}{2}\cdot cos(\pi)+2\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2-1}\cdot cos(n\cdot \pi)=0\Rightarrow

1+\frac{1}{2}+2\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2-1}\cdot (-1)^{n}=0 \Rightarrow 2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2n+1}}{n^2-1}=-\frac{3}{2}\Rightarrow

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{n^2-1}=-\frac{3}{4}\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}=\frac{3}{4}


Brugbart svar (1)

Svar #4
18. juni 2021 af Soeffi

#3...rettelse: n=2:

f(x)=1-\frac{1}{2}\cdot cos(x)+2\cdot \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2-1}\cdot cos(n\cdot x),\;-\pi\leq x<\pi

...

f(\pi)=0\Rightarrow 1-\frac{1}{2}\cdot cos(\pi)+2\cdot \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2-1}\cdot cos(n\cdot \pi)=0\Rightarrow

1+\frac{1}{2}+2\cdot \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2-1}\cdot (-1)^{n}=0 \Rightarrow 2 \cdot \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{2n+1}}{n^2-1}=-\frac{3}{2}\Rightarrow

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{-1}{n^2-1}=-\frac{3}{4}\Rightarrow \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}=\frac{3}{4}


Brugbart svar (1)

Svar #5
27. juni 2021 af Soeffi

#3...c) Et andet bevis (teleskopisk række):

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n-1)}=\frac{1}{2} \cdot \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}=

\frac{1}{2} \cdot \left ( \left ( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right ) + \left ( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right ) + \left ( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right )+ \left ( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right )+... \right ) =

\frac{1}{2} \cdot \left ( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \right ) =\frac{3}{4}


Brugbart svar (1)

Svar #6
28. juni 2021 af Soeffi

#5...evt.:

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n-1)}=\frac{1}{2} \cdot \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}=

\frac{1}{2} \cdot \left ( \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n-1} - \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n+1} \right ) =\frac{1}{2} \cdot \left ( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} - \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n} \right ) =

\frac{1}{2} \cdot \left (\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+ \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n} - \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n} \right ) =\frac{1}{2} \cdot \left (\frac{1}{1}+\frac{1}{2} +0\right ) =\frac{3}{4}


Skriv et svar til: Fourierækker

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.