Matematik

Divergent

05. august 2021 af unicorn66 - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har set utallige videoer dog uden at få komplet forståelse for disse begreber.

Divergent, absolut konvergent, betinget konvergent, n'te-ledskriteriet, sammenligningskriteriet og ækvivalenskriteriet.

Kan jeg få eksempler med disse begreber forklaret på en meget forsimplet måde?

Brugbart svar (1)

Svar #1
05. august 2021 af Eksperimentalfysikeren

Begreberne brugs for talfølger og for talrækker.

En talfølge er en uendelig liste af tal, e.eks:

$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, ...$

Tallene i denne følge nærmer sig til 0, så følgen er konvergent mod 0. En anden talfølge:

$1, -1, 1,-1,...$

konvergerer ikke. Den er divergent.

En talfølge (a_n) siges at konvergere mod g, hvis der for ethvert ε større end 0 findes et tal N, så

$n>N \Rightarrow |a_{n}-g| < \varepsilon$

En talrække er en uendelig sum af tal:

$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$

Det er ikke sikkert, at denne sum eksisterer. Hvis den gør det, kan den opfattes som grænseværdien af:

$\sum_{n=1}^{ 1}a_{n},\sum_{n=1}^{2 }a_{n},\sum_{n=1}^{3 }a_{n},\sum_{n=1}^{4 }a_{n},...$

Om talrækker siger man, at de er konvergente, hvis talfølgen ovenfor konvergerer.

Her kommer så en ekstra "lille" ting. Talrækken

$\sum_{n=1}^{ \infty}\frac{(-1)^{n}}{n}$

konvergerer ud fra denne opfattelse. (Jeg kan ikke huske grænseværdien) Der bare det, at ved en sum af endeligt mange led gælder den kommutative lov, så ledene kan byttes om vilkårligt. Det kan man ikke i denne række. Man kan faktisk få en vilkårlig grænseværdi ved at bytte rundt på rækkefølgen! Denne række er betinget konvergent, da den er betinget af rækkefølgen af ledene.

En konvergent række, hvor alle ledene har samme fortegn (man vælger normalt, at de ikke er negative), har ikke dette problem. Man kan her ombytte ledene få samme grænsesum. Hvis man erstatter -1 med 1 i ovenstående række, bliver alle ledene positive, men så er den ikke længere konvergent.

Hvis en række:

$\sum_{n=1}^{ \infty}a_{n}$

har den egenskab, at rækken

$\sum_{n=1}^{ \infty}|a_{n}|$

er konvergent, så er rækken selv også konvergent og ledene kan ombyttes vilkårligt. Den kaldes så absolut konvergent:

$\sum_{n=1}^{ \infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}$

Er absolut konvergent, da

$\sum_{n=1}^{ \infty}\frac{1}{2^{n}}$

er konvergent.

Jeg kan ikke huske navnene på kriterierne, og jeg kan kun huske to kriterier, så jeg må nok lade en anden beskrive dem.

Skriv et svar til: Divergent

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.