Matematik

Finde alle komplekse løsninger

12. september 2021 af chrl456 - Niveau: Universitet/Videregående

Nogle der kan hjælpe med følgende opgave?

Find alle komplekse løsninger af ligningen z^5 + 4z = 0. Giv løsningerne på formen a+bi.

Brugbart svar (1)

Svar #1
12. september 2021 af peter lind

sæt z ud foran en parantes og brug 0 reglen Hvis et produkt er 0 så er mindst en af faktorerne 0

Brugbart svar (1)

Svar #2
13. september 2021 af mathon

$\small \begin{array}{llllll}& z^4=-4=4\cdot e^{\textit{\textbf{ i}}\cdot \left ( \pi+p\cdot 2\pi \right )}\quad p\in\left \{ 0,1,2,3 \right \}\\\\& z=\left (4\cdot e^{\textit{\textbf{ i}}\cdot \left ( \pi+p\cdot 2\pi \right )} \right )^{\frac{1}{4}}=4^{\frac{1}{4}}\cdot e^{\textit{\textbf{ i}}\cdot \left ( \frac{\pi}{4}+p\cdot \frac{\pi}{2} \right )}=\sqrt{2}\cdot e^{\textit{\textbf{ i}}\cdot \left ( \frac{\pi}{4}+p\cdot \frac{\pi}{2} \right )}\\\\ \textup{dvs}\\& \sqrt{2}\cdot \left\{\begin{array}{lll} e^{\textit{\textbf{ i}}\cdot \left ( \frac{\pi}{4} \right )} \\ e^{\textit{\textbf{ i}}\cdot \left ( \frac{3\pi}{4} \right )} \\ e^{\textit{\textbf{ i}}\cdot \left ( \frac{5\pi}{4} \right )}\\ e^{\textit{\textbf{ i}}\cdot \left ( \frac{7\pi}{4} \right )} \end{array}\right.=\left\{\begin{matrix} 1&+&\textit{\textbf{ i}}\\ -1&+&\textit{\textbf{ i}} \\ -1&-&\textit{\textbf{ i}} \\ 1&-&\textit{\textbf{ i}} \end{matrix}\right. \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
13. september 2021 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll} \textup{hvoraf:}\\&& z^5+4z=0\\\\&& z\cdot \left ( z^4+4 \right )=0\\\\& \textup{har l\o sningerne:}\\&& z=\left\{\begin{matrix} 0\\1+\textbf{\textit{i}} \\ -1+\textbf{\textit{i}} \\ -1-\textbf{\textit{i}} \\ 1-\textbf{\textit{i}} \end{matrix}\right. \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
13. september 2021 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textup{detaljer:}\\& e^{\textbf{i}\cdot \frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\textbf{i}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\\\\& e^{\textbf{i}\cdot \frac{3\pi}{4}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\textbf{i}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\\\\& e^{\textbf{i}\cdot \frac{5\pi}{4}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\textbf{i}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\\\\& e^{\textbf{i}\cdot \frac{7\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\textbf{i}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}$

Skriv et svar til: Finde alle komplekse løsninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.