Matematik

Lagranges restled

06. oktober 2021 af gavs (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg ønsker lige at få en afklaring på et problem, jeg har siddet og rodet med i dag. En funktion er givet:

$f(x)=\sqrt{2x-1}$

Jeg skal gøre rede for, at den numeriske værdi af den fejl man begår ved at bruge Taylorpolynomiet af grad 3 med udviklingspunkt 1 på 3/2 i stedet for f(3/2) er mindre end eller lig med 5/128. Jeg har fundet Lagranges restled til at være:

$-\frac{5}{128(2c-1)^\frac{7}{2}}$

Værdierne af restleddet for endepunkterne på intervallet (1,3/2) beregnes:

$\left | -\frac{5}{128(2*(3/2)-1)^\frac{7}{2}} \right |=\frac{5\sqrt{2}}{2048}$

$\left | -\frac{5}{128(2*1-1)^\frac{7}{2}} \right |=5/128$

Derfor gælder det:

$\left | -\frac{5}{128(2*(3/2)-1)^\frac{7}{2}} \right |\leq \left | -\frac{5}{128(2*c-1)^\frac{7}{2}} \right |\leq \left | -\frac{5}{128(2*1-1)^\frac{7}{2}} \right |$

Den fejl man maksimalt kan begå er 5/128, som er den maksimale værdi restleddet kan antage på intervallet (1,3/2).

Nu er jeg bare i tvivl om noget. Hvordan ved man, at restleddet ikke kan blive større end det fundne i et indre punkt på intervallet?

En anden ting er, at denne opgaveformulering lægger op til, at fejlen man begår ved at bruge Taylorpolynomiet på et af endepunkterne i intervallet kan estimeres på samme måde, som man estimerer fejlen ved at bruge funktionen på et indre punkt. Jeg troede kun, at man kunne lave det her estimat for indre punkter mellem endepunkterne og ikke på selve endepunkterne?

Jeg forstår heller ikke, hvorfor fejlen man begår ved at bruge Taylorpolynomiet på 3/2 ikke netop er lig med restleddets værdi, når 3/2 sættes ind som c-værdi i restleddet? Og hvorfor er fejlen ikke 0, når man bruger Taylorpolynomiet på udviklingspunktet? Her burde Taylorpolynomiet jo netop passe perfekt.

Håber at nogen kan hjælpe mig her.

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. oktober 2021 af peter lind

Hvis du har definitionsintervallet [a, b] og du får c er den maksimale fejl du kan få den største af afstandene til endepunktet. Hvis det korrekte nemlig var det endepunkt vil fejlen jo blive afstanden til endepunktet

Skriv et svar til: Lagranges restled

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.