Matematik

Induktionsbevis

12. november 2021 af jcmatematikA - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP,

Jeg skal føre et induktionsbevis for $(1-x)P_n(x)=1-x^{n+1}$

Hvor den rekrusive definition er givet ved

$P_n(x)\left\{\begin{matrix} 1& n = 0 \\ P_{n-1} (x) + x^n& n = 1,2,3... \end{matrix}\right.$

Jeg får at:

$P_{n+1}(x)=(1-x^{n+2})/(1-x)$

$P_{n+1}(x)=(1-x^{n+2})/(1-x) + x^n$

$P_{n+1}(x)=(1-(x^{n+1})*x)/(1-x) + x^n$

Så går jeg lidt i stå..

Er der nogen der kan hjælpe mig :)?

Mvh.

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. november 2021 af Soeffi

#0. Du bliver sådan set bare bedt om at bevise formlen for delsummen af en geometrisk række:

$\sum_{i=1}^{n}x^i=\frac{x^{n+1}-x}{x-1}$

Slå evt. et sådant bevis op.

Brugbart svar (1)

Svar #2
12. november 2021 af Soeffi

#1. Undskyld:...
$\sum_{i=0}^{n}x^i=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$

Svar #3
13. november 2021 af jcmatematikA

Smart :) Tak!

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. november 2021 af Soeffi

#0. Lad os prøve på to måder:

1) Induktion: Vis at sætningen gælder for en værdi af n og vis, at hvis den gælder for denne værdi, så gælder
den også for alle værdier af n, der er større.

a) Det er rigtigt for n = 0, idet:

$(1-x)\cdot P_0(x)=(1-x)\cdot 1=1-x^{0+1}$

b) Hvis sætningen gælder for n, så gælder den også for n+1, idet:

$\\(1-x)\cdot P_{n+1}(x)=(1-x)\cdot (P_n(x)+x^{n+1}) \\\\ {\color{White} ..........................}=(1-x)\cdot (\frac{1-x^{n+1}}{1-x}+x^{n+1}) \;(induktionsantagelse)\\\\ {\color{White} ..........................}=1-x^{n+1}+(1-x)\cdot x^{n+1} \\\\ {\color{White} ..........................}=1- x^{n+2}\;(qed)$

2) Direkte udledning:

$\\ (1-x) \cdot P_n(x)=(1-x) \cdot (P_{n-1}(x)+x^{n}) \\\\ {\color{White} .......................}=(1-x) \cdot ((P_{n-2}(x)+x^{n-1})+x^{n}) \\\\ {\color{White} ........................}... (gentagen \; inds\ae ttelse\;P_{n-i}(x),hvor\;i=3,4...n)... \\\\ {\color{White} .......................}=(1-x)\cdot (1+x+...+x^{n-1}+x^{n})\\\\ {\color{White} .......................}=1+x+...+x^{n-1}+x^{n}-x(1+x+...+x^{n-1}+x^{n}) \\\\ {\color{White} .......................}=1+x+...+x^{n-1}+x^{n}-x-...-x^{n}-x^{n+1} \\\\ {\color{White} .......................}=1-x^{n+1}\;(qed)$

Svar #5
14. november 2021 af jcmatematikA

Hej Soeffi,

Mange tak for din hjælp - og ikke mindst tid.

Jeg har et enkelt spørgsmål til 1.b første trin.

hvorfor er det ok at omskrive h.s. fra (1-x^n+1) til (1-x)*(pn(x)+n^1). Det er nok bare helt lavpraktisk, men jeg kan ikke se, hvordan man kommer fra det ene til det andet.

Brugbart svar (0)

Svar #6
14. november 2021 af Soeffi

#5. Som der står, så er det induktionsantagelsen, som benyttes:

$(1-x)\cdot P_{n}(x)=1-x^{n+1}\Leftrightarrow P_{n}(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$

Dette indsættes...

$\\(1-x)\cdot P_{n+1}(x)=(1-x)\cdot ({\color{Red} P_n(x)}+x^{n+1}) \\\\ {\color{White} ..........................}=(1-x)\cdot ({\color{Red} \frac{1-x^{n+1}}{1-x}}+x^{n+1}) \;(induktionsantagelse)...$

Brugbart svar (0)

Svar #7
14. november 2021 af Soeffi

#5. Jeg forstår godt spørgsmålet, for umiddelbart ligner induktionsantagelsen et cirkelargument: Man antager noget, som man skal bevise, men der er kun tale om at antage det for eet n og ikke alle!

Skriv et svar til: Induktionsbevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.