Matematik

Logistisk vækstmodel

15. december 2021 af rycdi - Niveau: B-niveau

Hej, hvad fortæller konstanterne a og c i den logistisk vækst?

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. december 2021 af mathon

$\small \begin{array}{llllllll}&& \small y{\, }'=a\cdot y\cdot \left ( M-y \right )\qquad a>0\quad\wedge\quad 0<y<M\\\\\textup{En l\o sning uden}\\\textup{konstantled er:}\\&& \large y=\frac{M}{1+C\cdot e^{-a\cdot M\cdot t}}\\\\a\textup{ er en konstant}&& \textup{hidr\o rende fra } \textup{differentialligningen og } C\textup{ er en}\\&& \textup{integrationskonstant} \textup{} \end{array}$

Svar #2
15. december 2021 af rycdi

hej

jeg forstår det ikke. Hvad betyder en løsning uden konstantled.

Kan du forklare det mere simpelt? hvordan skal der også differentieres?

tak

Brugbart svar (0)

Svar #3
15. december 2021 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll}\small \textup{En l\o sning med}\\ \textup{konstantled:}\\ &\Large y=\frac{M}{1+C\cdot e^{-a\cdot M\cdot t}}+k \\\\\\& y{\, }'=a\cdot y\cdot (M-y) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. december 2021 af mathon

er det så rigitgt forstået at den logistiske vækst differentieret er y' = a * y * (M - y)?

kan du måske forklare mig betydningen af konstanterne for grafens udseende?
.

$\small \begin{array}{llllll}&f(x)\textup{ er voksende da}& y{\, }'>0\\\\&\textup{vandret asymptote }&y=M\textup{ for }x\rightarrow \infty\\\\&\textup{vendetangent for}&y=\frac{M}{2}\textup{ i punktet }\left ( \frac{\ln(C)}{a\cdot M},\frac{M}{2} \right )\\\\&\textup{med ligningen}&y=a\left ( \frac{M}{2} \right )^2x+\frac{\left (2-\ln(C) \right )\cdot M}{4} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. december 2021 af mathon

$\small \small \small \small \begin{array}{llllll}&\small \textup{men selvf\o lgelig}\\&\textup{kan beregning af } f{\, }'(x)\\&\textup{foreg\aa:}\\&&\Large f{\, }'(x)=\frac{-M}{\left (1+C\cdot e^{-a\cdot M\cdot x} \right )^2}\cdot C\cdot e^{-a\cdot M\cdot x}\cdot \left ( -a\cdot M \right )=\frac{a\cdot M^2\cdot C\cdot e^{-a\cdot M\cdot x}}{\left (1+C\cdot e^{-a\cdot M\cdot x} \right )^2} \\\\\\& \textbf{Husk}&\small\textup{CAS-beregning omskriver }\quad \Large e^{-a\cdot M\cdot x}\quad \small\textup{til}\quad \Large {a_1}^x \end{array}$

Svar #6
16. december 2021 af rycdi

Hej

min opgave gik ud på at regne nogle væksthastigheder ud. Jeg endte så med at bruge CAS

jeg beregnede fx. f'(200) og CAS regnet det ud på den her måde

dy/dx(f(x)), hvor f(x) er defineret

er det korrekt?

tak

Brugbart svar (0)

Svar #7
16. december 2021 af mathon

Du skrev så meget, om hvordan man differentierer, så jeg antog det handlede om matematiske
detaljer.

Men selvfølgelig:
$\small \begin{array}{llllll}&& \textup{Define }f(x)=\frac{M}{1+C\cdot e^{-a\cdot M\cdot x}}\\\\&& \textup{Define }fm(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(f(x)) \end{array}$

Hvilket antog, at du godt vidste.

Svar #8
16. december 2021 af rycdi

Nåår okay, tak for hjælpen

Skriv et svar til: Logistisk vækstmodel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.