Eksamensforberedelse

Kurve i XY planet

11. januar 2022 af spisp2100 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, jeg har en opgave der lyder således:

Lad r(t) = 2 cos(t)i+3 sin(t)j beskrive en kurve i XY planet. Vis, at r(t) tilhører
ellipsen x2/4 + y2/9 = 1.
(i). For hvilke værdier af t rammer man punktet √2i + 3/(√2)j?
(ii). Hvad er farten i det punkt?
(iii). Hvad er krumnigsradius i punktet 2i?

Jeg har prøvet mig frem med forskellige metoder, men jeg kan simpelthen ik få det til at give mening. Det er første opgave, jeg bøvler med. Nu ved jeg simpelthen ikke hvad jeg skal gøre.

Tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. januar 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll}& x=2\cos(t)\Leftrightarrow \cos(t)=\frac{x}{2}\\& y=3\sin(t)\, \Leftrightarrow\sin(t)\, =\frac{y}{3}\\\\& \left ( \frac{x}{2} \right )^2+\left ( \frac{y}{3} \right )^2=\cos^2(t)+\sin^2(t)=1 \\\\ \textup{ellipsen:}\\& \frac{\, \, x^2}{4}+\frac{\, \, y^2}{9}=1 \end{array}$

Svar #2
11. januar 2022 af spisp2100

Jeg er med i forhold til at r(t) tilhører elipsen.

Der er en fejl ved elipsens formel. Den hedder x^2/4+y^2/9 = 1, men igen jeg har vist at den tilhører elipsen.Jeg er bare mere blank på (i) første opgave.

Brugbart svar (1)

Svar #3
11. januar 2022 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textbf{(i).}\\& \overrightarrow{r}=\begin{pmatrix} 2\cos(t)\\3\sin(t) \end{pmatrix}\\&& 2\cos(t)=\sqrt{2}\Leftrightarrow t=\frac{\pi}{4}+p\cdot 2\pi\\&&3\sin(t)=\frac{3}{\sqrt{2}}\, \, \Leftrightarrow t=\frac{\pi}{4}+p\cdot 2\pi\ \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
11. januar 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllll} \textbf{(ii).}\\&& \overrightarrow{v}(t)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \overrightarrow{r}(t) \right )=\begin{pmatrix} -2\sin(t)\\3\cos(t) \end{pmatrix}\\\\&& \overrightarrow{v}(\frac{\pi}{4})=\begin{pmatrix} -2\cdot \sin\left ( \frac{\pi}{4} \right )\\ 3\cdot \cos\left ( \frac{\pi}{4} \right ) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ \frac{3}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\\\\&\textup{farten:}\\&&v=\sqrt{\left (-\sqrt{2} \right )^2+\left ( \frac{3}{\sqrt{2}} \right )^2}=\sqrt{2+\frac{9}{2}}=\sqrt{6.5}=2.55\;\left ( \textup{2 dec.} \right ) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. januar 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllll} \textbf{(iii).}\\&& \left ( x,y \right )=\left ( 2,0 \right )\Leftrightarrow{\color{Red} t=0}+p\cdot 2\pi\\\\&& x(t)=2\cos(t)\qquad \dot x(t)=-2\sin(t)\qquad \ddot x(t)=-2\cos(t)\\\\&&y(t)=3\sin(t)\qquad \, \dot y(t)=3\cos(t)\qquad \, \, \, \, \ddot y(t)=-3\sin(t) \\\\&\textup{Krumning:}\\&&\kappa =\frac{\left | \dot x\cdot \ddot y-\dot y\cdot \ddot x \right |}{\left | \overrightarrow{v} \right |^3}\\\\& \textup{Krumning i }\left ( 2,0 \right )\textup{:}\\&& \kappa =\frac{\left |0\cdot \ddot y-3\cdot (-2) \right |}{\left ( 3^2 \right )^{\frac{3}{2}}}=\frac{6}{3^3}=\frac{3\cdot 2}{3\cdot 3^2}=\frac{2}{9}\\\\& \textup{krumningsradius}\\& \textup{i (2,0):}\\&& r=\frac{1}{\kappa }=\frac{9}{2}=4.5 \end{array}$

Svar #6
11. januar 2022 af spisp2100

I svar #3 har du så benyttet trigonometriske formler ( cos(x)=√1+cos(2x)/2)? For hvordan kommer du fra vektoren r til kvadratrod af 2 til at give t = pi/4 +p *2pi?

Forstår godt spørgsmål 2

Brugbart svar (0)

Svar #7
12. januar 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllll} \\ \overrightarrow{r}=\begin{pmatrix} 2\cos(t)\\3\sin(t) \end{pmatrix}\\&&& 2\cos(t)=2\Leftrightarrow t=0+p\cdot 2\pi\\&&&3\sin(t)=0\, \, \Leftrightarrow t=0+p\cdot 2\pi \quad \vee \quad t=\pi+p\cdot 2\pi\\&& \Updownarrow\\&&& t=0+p\cdot 2\pi \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
12. januar 2022 af mathon

$\kappa =\frac{\left | \dot x(0)\cdot \ddot y(0) -\dot y(0)\cdot \ddot x(0)\right |}{\left (\left (\dot x(0) \right )^2+\left (\dot y(0) \right )^2 \right )^{\frac{3}{2}}}$

Skriv et svar til: Kurve i XY planet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.