Matematik

Bevis

23. januar 2022 af august543 - Niveau: A-niveau

Hej

Er der nogen der kan forklare hvad der bliver gjort linje for linje (linje 1-8) i det vedhæftede bevis omkring differentialligninger? Det ville være en stor hjælp.

Tak på forhånd.

Vedhæftet fil: bevis.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. januar 2022 af ringstedLC

Brugbart svar (0)

Svar #2
23. januar 2022 af ringstedLC

#0:

$\begin{align*} &\quad && \quad y' &&&= k\,y \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\; &&&&\\ (1)&\quad && f'(x) &&&= k\,f(x) \qquad ,\; f(x)=y\;,\;f'(x)=y' &&&&\\ (2)&\quad && f'(x)\cdot e^{-k x} &&&= k\,f(x)\cdot e^{-k x} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\; &&&&\\ (3)&\quad && f'(x)\cdot e^{-k x}-k\,f(x)\cdot e^{-k x} &&&= 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &&&&\\ (4)&\quad g'(x)= && f'(x)\cdot e^{-k x}-k\,f(x)\cdot e^{-k x} &&&= 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &&&& \\ (5)&\quad g(x)= && f(x)\cdot e^{-k x} &&&= c \qquad \Rightarrow g'(x)=(c)' \Rightarrow g'(x)=0 \\ (6)&\quad && f(x)\cdot e^{-k x} &&&= c \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &&&&\\ (7)&\quad && \frac{f(x)}{e^{k x}} &&&= c \qquad\qquad\; ,\;a^{-r}=\frac{1}{a^r} \qquad\qquad\quad &&&&\\ (8)&\quad && f(x) &&&= c\cdot e^{k x} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\;\; &&&& \end{align*}$

Indrømmet; det er lidt svært at se, hvad der foregår med den skiftende brug af teksttyper. Men matematiken bør være til at forstå.

Svar #3
23. januar 2022 af august543

#2
#0:

$\begin{align*} &\quad && \quad y' &&&= k\,y \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\; &&&&\\ (1)&\quad && f'(x) &&&= k\,f(x) \qquad ,\; f(x)=y\;,\;f'(x)=y' &&&&\\ (2)&\quad && f'(x)\cdot e^{-k x} &&&= k\,f(x)\cdot e^{-k x} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\; &&&&\\ (3)&\quad && f'(x)\cdot e^{-k x}-k\,f(x)\cdot e^{-k x} &&&= 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &&&&\\ (4)&\quad g'(x)= && f'(x)\cdot e^{-k x}-k\,f(x)\cdot e^{-k x} &&&= 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &&&& \\ (5)&\quad g(x)= && f(x)\cdot e^{-k x} &&&= c \qquad \Rightarrow g'(x)=(c)' \Rightarrow g'(x)=0 \\ (6)&\quad && f(x)\cdot e^{-k x} &&&= c \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad &&&&\\ (7)&\quad && \frac{f(x)}{e^{k x}} &&&= c \qquad\qquad\; ,\;a^{-r}=\frac{1}{a^r} \qquad\qquad\quad &&&&\\ (8)&\quad && f(x) &&&= c\cdot e^{k x} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\;\; &&&& \end{align*}$

Indrømmet; det er lidt svært at se, hvad der foregår med den skiftende brug af teksttyper. Men matematiken bør være til at forstå.

Jeg tænkte mere om jeg kunne få forklaringerne med bogstaver? Jeg havde corona, da min lærer gennemgik det, så jeg har ingen ide om hvordan jeg skal gribe det an ud fra dit bud. Tusind tak for hjælpen i øvrigt.

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. januar 2022 af ringstedLC

Delvis omskrivning:

$\begin{align*} (3)&\quad \underbrace{f'(x)\cdot e^{-k x}-k\,f(x)\cdot e^{-k x}} &&= 0 &&&\\ (4)&\qquad\qquad\qquad g'(x) &&= 0 \Rightarrow g(x)=\textup{konstant}=c \\ &\qquad\qquad\qquad g(x) &&=c \\ (5)&\qquad\qquad\; \overbrace{f(x)\cdot e^{-k x}} &&= c \\ \end{align*}$

Svar #5
24. januar 2022 af august543

#4
Delvis omskrivning:

$\begin{align*} (3)&\quad \underbrace{f'(x)\cdot e^{-k x}-k\,f(x)\cdot e^{-k x}} &&= 0 &&&\\ (4)&\qquad\qquad\qquad g'(x) &&= 0 \Rightarrow g(x)=\textup{konstant}=c \\ &\qquad\qquad\qquad g(x) &&=c \\ (5)&\qquad\qquad\; \overbrace{f(x)\cdot e^{-k x}} &&= c \\ \end{align*}$

Det løser stadig ikke rigtigt mit problem, for jeg kan ikke forstå det ved at det bare opskrives matematisk. Jeg kunne meget godt tænkte mig en forklaring med ord:)

Brugbart svar (0)

Svar #6
24. januar 2022 af ringstedLC

Din lærer har formentligt givet Jer det her som et led i forberedelsen til eksamen. Så I kan se, hvordan et bevis kunne udføres i "matematik-sprog" på tavlen.

Du forventes at kunne betjene dig af- og kunne forstå dette sprog på nuværende tidspunkt og niveau og bør ikke have det "oversat" til ord.

Kom igen, men nu med angivelse af linjenumre for de trin som du konkret ikke forstår.

Eksempel: Linje 0, hvordan differentieres g(x) vha. produktreglen?

Skriv et svar til: Bevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.