Matematik

Vektorcalculus

05. februar 2022 af ClaraAndersen - Niveau: Universitet/Videregående

Hej. Jeg har en opgave om vektorcalculus. Kan i hjælpe mig??

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2022-02-05 kl. 09.47.35.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. februar 2022 af mathon

Brugbart svar (1)

Svar #2
05. februar 2022 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} \textbf{a)}\\&& \overrightarrow{r}(t)=\begin{pmatrix} x(t)\\ y(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2a\cdot \tan(t)\\2a\cdot \cos^2 (t)\end{pmatrix}\\\\&& \overrightarrow{v}(t)=\begin{pmatrix} x{\, }'(t)\\y{\, }'(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{2a}{\cos^2(t)}\\-2a\cdot \sin(2t) \end{pmatrix} \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
05. februar 2022 af mathon

eller noteret

$\small \begin{array}{lllllll} \textbf{a)}\\&& \overrightarrow{r}(t)=\begin{pmatrix} x(t)\\ y(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2a\cdot \tan(t)\\2a\cdot \cos^2 (t)\end{pmatrix}\\\\&& \overrightarrow{v}(t)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \overrightarrow{r}(t) \right )=\begin{pmatrix} \dot x(t)\\ \dot y(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{2a}{\cos^2(t)}\\-2a\cdot \sin(2t) \end{pmatrix} \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
05. februar 2022 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} \textbf{b)}\\&& \kappa =\frac{\dot x\cdot \ddot y-\dot y\cdot \ddot x}{\left |\overrightarrow{v} \right |^3}\\\\\\&&\small \ddot x=\frac{2a\cdot \sin(2t)}{\cos^4(t)}\\\\&& \small \ddot y=-4a\cdot \cos(2t)\\\\&& \left | \overrightarrow{v} \right |^3=\left ( {v_1}^2 +{v_2}^2\right )^{\frac{3}{2}}=\left (\frac{4a^2}{\cos^4(t)} +4a^2\cdot \sin^2(t) \right )^{\frac{3}{2}} \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
05. februar 2022 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} \textbf{c)}\\&\textup{Normalvektor:}& \\&& \overrightarrow{n}(t)=\widehat{\overrightarrow{v}(t)}=\begin{pmatrix} 2a\cdot \sin(2t)\\ \frac{2a}{\cos^2(t)} \end{pmatrix} \end{array}$

Svar #6
05. februar 2022 af ClaraAndersen

Hej marthon.

Hvordan bestemmer du v(t) i a)?

Brugbart svar (0)

Svar #7
05. februar 2022 af mathon

Hvad er du i tvivl om?

Svar #8
05. februar 2022 af ClaraAndersen

Når jeg differentierer x(t) inde i maple, så får jeg

x(t)=2a*tan(t) => x'(t)= 2a(1+tan(t)^2)

Svar #9
05. februar 2022 af ClaraAndersen

Og hvordan differentierer du y(t)?

Brugbart svar (1)

Svar #10
05. februar 2022 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \dot x(t)=&\left (2a\cdot \tan(t) \right ){ }'=2a\cdot \tan{ }'(t)=2a\cdot \frac{1}{\cos^2(t)}=\frac{2a}{\cos^2(t)}\\\\\\ \dot y(t)=&\left (2a\cdot \cos^2(t) \right ){}'=2a\cdot \left ( \cos^2(t) \right ){}'=2a\cdot 2\cdot \cos(t)\cdot \cos{\,}'(t)=\\\\& 2a\cdot 2\cdot \cos(t)\cdot \left ( -\sin(t) \right )=-2a\cdot \left ( 2\cdot \sin(t)\cdot \cos(t) \right )=\\\\& -2a\cdot \sin(2t) \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #11
05. februar 2022 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \small \textbf{Bem\ae rk:}\\&& \large \frac{}{}1+\tan^2(x)=1+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)} \end{array}$

Svar #12
05. februar 2022 af ClaraAndersen

x(t) er forstået:) Du må gerne uddybe, hvordan du i det næstsidste led i din udregning for y'(t), fjerner cos(t) og står tilbage med -2a*sin(2t)

Brugbart svar (1)

Svar #13
05. februar 2022 af mathon

#12
$\small \small \small \small \small \begin{array}{lllll}\textbf{additions-formlen:}\\&& \sin(2t)=\sin(t+t)=\sin(t)\cdot \cos(t)+\cos(t)\cdot \sin(t)=2\sin(t)\cos(t)\\ \textbf{dvs:}\\&& 2\sin(t)\cos(t)=\sin(2t) \end{array}$

Svar #14
05. februar 2022 af ClaraAndersen

Modtaget, tak!

I forbindelse med b), har du medregnet betingelsen, at t=0?

Brugbart svar (0)

Svar #15
05. februar 2022 af mathon

#14
Det gør du.

Svar #16
05. februar 2022 af ClaraAndersen

Gotcha!

#4 Hvordan finder du længden af vektor v (i nævneren) ?

Brugbart svar (1)

Svar #17
05. februar 2022 af mathon

Det behøver du ikke at tage i betragtning
i denne forbindelse.
$\small \begin{array}{lllllll}&& \dot x(0)=\frac{2a}{1}=2a&& \dot y(0)=-2a\cdot \sin(0)=-2a\cdot 0=0\\\\&& \ddot x(0)=0&&\ddot y(0)=-4a\cdot 1=-4a\\\\\\&& \dot x(0)\cdot \ddot y(0)=0&&\dot y(0)\cdot \ddot x(0)=2a\cdot 0=0\\\\ \textbf{hvoraf:}\\&& \dot x(0)\cdot \ddot y(0)-\dot y(0)\cdot \ddot x(0)=0\\\\\\&& \kappa =\frac{0}{\left ( \frac{4a^{\, 2}}{\cos^4(0)}+4a^2\cdot \sin^2(0) \right )^{\frac{3}{2}}}=0 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #18
05. februar 2022 af mathon

Men i øvrigt:
   Hvordan finder du længden af
   vektor a:
      $\small \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \end{pmatrix}\textup{ ?}$

Svar #19
05. februar 2022 af ClaraAndersen

#18

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2022-02-05 kl. 16.14.00.png

Brugbart svar (0)

Svar #20
05. februar 2022 af mathon

Netop.

Forrige 1 2 Næste

Der er 24 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.