Matematik

Konvergens for talfølge

02. november 2022 af azulodukovic - Niveau: Universitet/Videregående

Lad

$g(x) = \frac{1}{1+x}$

og lad talfølgen $\{a_{n}\}$ være defineret ved

$a_{0} = 7, \\ a_{1} = g(7) = g(a_{0}),\\ a_{2} = g(g(7)) = g(a_{1})$

og så videre.

Vis at talfølgen $\{a_{n}\}$ er konvergent og bestem grænseværdien.

Hvis der skulle være nogen tvivl, så er

$a_{1} = \frac{1}{1+7} = \frac{1}{8} \\ a_{2} = \frac{1}{1+ \frac{1}{8} } = \frac{8}{9}$

osv.

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. november 2022 af MandenMedMangeHatte

Så hvad har du problemer med?

Svar #2
02. november 2022 af azulodukovic

At vise at talfølgen er konvergent

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. november 2022 af MandenMedMangeHatte

Værsgo azulodukovic

Svar #4
02. november 2022 af azulodukovic

Giver mening! Men kan man vise at rækken er konvergent ved at antage at den er?

Brugbart svar (0)

Svar #5
02. november 2022 af MandenMedMangeHatte

Jeg er faktisk ikke helt sikker på hvordan man skal vise at talfølgen er konvergent. Måske kan Sune Chr hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #6
02. november 2022 af Soeffi

#0. Opgaven er en forklædt udgave af kædebrøken:

$\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+..}}}$

som vides at være konvergent med det gyldne snit som grænseværdi...

Brugbart svar (0)

Svar #7
02. november 2022 af jl9

Et bud: Med det n'te Fibonacci tal F_n :

$a_{n+1}=\frac{F_n+F_{n-1} \cdot x}{F_{n+1}+F_n \cdot x} \quad , \quad x=7$

Brugbart svar (0)

Svar #8
02. november 2022 af Soeffi

#7
Et bud: Med det n'te Fibonacci tal F_n :

$a_{n+1}=\frac{F_n+F_{n-1} \cdot x}{F_{n+1}+F_n \cdot x} \quad , \quad x=7$

Grænseværdien af forholdet mellem to på hinanden følgende Fibonacci-tal er det gyldne snit.

Brugbart svar (0)

Svar #9
02. november 2022 af jl9

$\frac{F_n+F_{n-1} \cdot x}{F_{n+1}+F_n \cdot x} =\frac{F_n/F_n+F_{n-1} / F_n \cdot x}{F_{n+1} / F_n+F_n /F_n \cdot x} =\frac{1+F_{n-1} / F_n \cdot x}{F_{n+1} / F_n+x}$

$\lim_{n \rightarrow \infty } F_{n-1}/F_n= 1/\phi \quad , \quad\lim_{n \rightarrow \infty } F_{n+1}/F_n= \phi$

$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
03. november 2022 af AskTheAfghan

#4 Man skal selvfølgelig tjekke konvergensen først. En mulig måde er som følgende. Funktionen g er aftagende og dens billedmængde er nedadtil begrænset 0. Defineres følgen (a_n) ved a₁ = g(7) og a_n+1 = g(a_n) for n > 0, tvinges (a_n) til at være aftagende og nedadtil begrænset af 0 -- overvej hvorfor, og dermed konvergerer den (imod inf_n≥1 a_n) jf. sætningen om monoton konvergens. Nu kan du godt "antage", at følgen har grænseværdien -- lad os sige -- L, og så følge det man gør i #3, for at bestemme værdien af L.

Brugbart svar (0)

Svar #11
03. november 2022 af Soeffi

#10. Hvis vi holder fast i Fibonacci, så får man følgen:

$\frac{7}{1},\frac{1}{1+7},\frac{1}{1+\frac{1}{1+7}},\frac{1+\frac{1}{1+7}}{2+\frac{1}{1+7}},\frac{2+\frac{1}{1+7}}{3+2\frac{1}{1+7}},\frac{3+2\frac{1}{1+7}}{5+3\frac{1}{1+7}},\frac{5+3\frac{1}{1+7}}{8+5\frac{1}{1+7}},...\frac{F_n+F_{n-1}\cdot a_1}{F_{n+1}+F_{n}\cdot a_1}...$

Dette nærmer sig:

$\frac{F_n}{F_{n+1}}$

der er konvergent.

Brugbart svar (0)

Svar #12
03. november 2022 af jl9

$\lim_{n \rightarrow \infty }\frac{F_n+F_{n-1}\cdot a_1}{F_{n+1}+F_{n}\cdot a_1}=\lim_{n \rightarrow \infty }\frac{1+F_{n-1}/F_{n}\cdot a_1}{F_{n+1}/F_n+ a_1} = \frac{1+1/\phi \cdot a_1}{\phi+a_1}=\frac{1}{\phi}\frac{(\phi+a_1)}{(\phi + a_1)}=\frac{1}{\phi}$

Brugbart svar (0)

Svar #13
05. november 2022 af AskTheAfghan

#11 Det er måske overkill, for så skal man stadig vise, at følgen {F_n/F_n+1} konvergerer (før man bestemmer dens grænseværdi), hvis trådstarteren ikke har viden om det. Jeg ville nok foretrække #3's metode, da den er kort og godt. Det er ikke helt oplagt, at a_n kan omskrives til det, der involverer Fibonaccitallene (med eller uden vha. induktion).

Skriv et svar til: Konvergens for talfølge

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.