Matematik

Dobbeltintegral

05. november 2022 af norm (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej. Jeg har en funktion:

$u(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{y^2} & \text{ hvis } x\leq y \\ -\frac{1}{x^2} & \text{ hvis } x>y \end{cases}$

Jeg vil integrere denne sådan her:

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}u(x,y)dxdy$

Og sådan her:

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}u(x,y)dydx$

Jeg har prøvet i Maple og får det første integral til at være 1 og det andet til at være -1. Hvordan løser jeg det her uden Maple? Jeg har forsøgt mig med det første integral. Jeg tror, at jeg skal integrere den første del af funktionen over mængden:

$\{ (x,y)\in \mathbb{R}^ 2 : 0 \leq x\leq y, 0 \leq y \leq 1 \}$

Og den anden del af funktionen over mængden:

$\{ (x,y)\in \mathbb{R}^ 2 : y \leq x\leq 1, 0 \leq y \leq 1 \}$

Og til sidst skal jeg nok addere de to integraler. Jeg har prøvet det her med det første integral:

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{y} \frac{1}{y^2} dxdy=\int_{0}^{1} \frac{1}{y} dy$

Men integralet bliver plus uendelig, så hvad er det, jeg gør forkert?

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. november 2022 af jl9

Skal U integreres i arealet x=0..1 og y=0..1? Kan man ikke dele det op i 2 integraler, et i hver del af diagonalen x=y, og lægge dem sammen

$\int_0^1 \int_0 ^y \frac{1}{y^2} dx dy=\int_0^1 \frac{1}{y^2} dy \int_0^y 1dx$

$\int_0^1 \int_0 ^x -\frac{1}{x^2} dy dx$

Brugbart svar (0)

Svar #2
06. november 2022 af SuneChr

Planen
- x + y = 0
adskiller rummet i/med funktionens to disjunkte definitionsmængder.
De to flader er med xy-, xz- og yz planen asymptotisk.

Svar #3
06. november 2022 af norm (Slettet)

#1 Ja, den skal integreres på x=0..1 og y=0..1. Den løsning du foreslår ser ikke ud til at virke?

#2 Ja, jeg kan se, at linjen y=x adskiller de to arealer fra hinanden i xy-planen. Det er også derfor, jeg definerede de to mængder, men mit problem er vist, at jeg ikke kan finde ud af at definere de rigtige integrationsgrænser.

Brugbart svar (0)

Svar #4
06. november 2022 af jl9

#3 du har ret, det må være sådan her $\int_0^1 \int_0 ^y \frac{1}{y^2} dx dy=\int_0^1 \frac{1}{y^2} \int_0^y 1dx dy =\int_0^1 \frac{1}{y} dy$ .

Hvad med at skrive det op med vilkårlige grænser a og b først?

$\int_a^b \int_0 ^y \frac{1}{y^2} dx dy + \int_a^b \int_0 ^x -\frac{1}{x^2} dy dx = \left [ -ln(\left | y \right |) \right ] _{y=a} ^b + \left [ ln(\left | x \right |) \right ] _{x=a} ^b$

Brugbart svar (0)

Svar #5
06. november 2022 af Soeffi

#0. Hvordan lyder opgaven helt præcis? Det ser ud til, at du skal finde et uegentligt integral!?

Brugbart svar (0)

Svar #6
06. november 2022 af peter lind

Problemet er jo at du skal integrere fra 0 i begge integraler, hvor integranten ikke er defineret. Du kan prøve at integrere fra δ1 og δ2 >0 og til slut se hvad der sker når δ'erne går mod 0

Svar #7
06. november 2022 af norm (Slettet)

Jeg har vedhæftet opgaven her.

Vedhæftet fil:opgave.png

Brugbart svar (0)

Svar #8
06. november 2022 af Soeffi

#7. Indsætter billede:

Hvad betyder det, at u er målelig, og hvad betyder λ?

Svar #9
06. november 2022 af norm (Slettet)

Lambda er Lebesguemålet, så det er Lebesgueintegraler, der optræder i opgaveteksten, men da der er tale om egentlige integraler, så kan man bare opfatte dem som egentlige Riemannintegraler. Derfor er jeg interesseret i at beregne integralerne som Riemannintegraler, og Maple viser mig jo, at de er veldefinerede.

Brugbart svar (0)

Svar #10
06. november 2022 af jl9

$\lim_{a \rightarrow 0} \left( \left [ -ln(\left | y \right |) \right ] _{y=a} ^1 + \left [ ln(\left | x \right |) \right ] _{x=a} ^1 \right ) = \lim_{a \rightarrow 0} \left( -ln(1) + ln(|a|) +ln(1) - ln(|a|) \right) = \lim_{a \rightarrow 0} \left( ln(|a|) - ln(|a|) \right) = \lim_{a \rightarrow 0} ln \left( \frac{|a|}{|a|} \right)$

Brugbart svar (0)

Svar #11
06. november 2022 af Soeffi

#9. Fidusen er vel at det ene integral går mod uendelig og det andet mod minus uendelig, så når du lægger dem sammen giver det 0?!

Svar #12
06. november 2022 af norm (Slettet)

#11 Det forstår jeg ikke helt. Integralerne skulle gerne give 1 og -1. Jeg har vedhæftet min Mapleberegning her.

Vedhæftet fil:integral.png

Brugbart svar (0)

Svar #13
06. november 2022 af Soeffi

#12. Prøv at tage integralerne

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}-\frac{1}{x^2}\;dy \;dx$

$\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}\frac{1}{y^2}\;dy \;dx$

på Maple hver for sig.

Svar #14
06. november 2022 af norm (Slettet)

Jeg kan godt se, hvad I mener, men så forstår jeg ikke, hvorfor jeg også kan få integralet til at være 1 og -1. Det giver ikke mening for mig. Jeg havde ellers lidt på fornemmelsen, at det her var en øvelse, som skulle vise et eksempel, hvor man ikke kan bytte om på integralerne.

Brugbart svar (0)

Svar #15
06. november 2022 af jl9

Det må skulle give samme resultat, måske er pointen at integralerne/grænserne skal omskrives hvis de byttes om

Brugbart svar (0)

Svar #16
06. november 2022 af jl9

..eller måske har Maple ret :) Der findes et Fubini's theorem som siger noget om forskellige resultater

Brugbart svar (0)

Svar #17
07. november 2022 af SådanDa

$\int_0^1\int_0^1 u(x,y) \ \textup{d}x\textup{d}y$

Betragt det inderste integral:

$\int_0^1 u(x,y) \ \textup{d}x = \int_0^y u(x,y) \ \textup{d}x +\int_y^1 u(x,y) \ \textup{d}x$

$=\int_0^y \frac{1}{y^2} \ \textup{d}x +\int_y^1 -\frac{1}{x^2} \ \textup{d}x=[\frac{x}{y^2}]_0^y+[\frac{1}{x}]_y^1=\frac{1}{y}+(1-\frac{1}{y})=1$ ,

så hele integralet bliver:

$\int_0^1\int_0^1 u(x,y) \ \textup{d}x\textup{d}y=\int_0^11\ \textup{d}y = [y]_0^1=1$ .

Ligeledes er

$\int_0^1 u(x,y) \ \textup{d}y = \int_0^x u(x,y) \ \textup{d}y +\int_x^1 u(x,y) \ \textup{d}y$

$=\int_0^x -\frac{1}{x^2} \ \textup{d}y +\int_x^1 \frac{1}{y^2} \ \textup{d}y=[-\frac{y}{x^2}]_0^x+[-\frac{1}{y}]_x^1=-\frac{1}{x}+(-1+\frac{1}{x})=-1$

Så,

$\int_0^1\int_0^1 u(x,y) \ \textup{d}y\textup{d}x=\int_0^1-1\ \textup{d}x=-1$ .

#16 har ret i at det er værd at overveje hvorfor funktion hverken opfylder kriterierne for Fubinis eller Tonellis sætning.

Skriv et svar til: Dobbeltintegral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.