Matematik

mortorvejen

04. januar 2023 af squidg - Niveau: B-niveau

Hej :)

Har svært ved opgaverne. nogen som vil hjælpe mig ?

man kan se opgaverne i den vedhæftede fill

Vedhæftet fil: MOTORVEJEN.docx

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. januar 2023 af ringstedLC

$\begin{align*} I(0) &= 100=I(120+120)\;\textup{pga.\,symmetri} \\ I(300) &= 50 \end{align*}$

Det giver tre ligninger til tre ubekendte. Brug eventuelt 2. grads-regression.

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. januar 2023 af ringstedLC

B) Beregn y_T eller I '(t) = 0

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. januar 2023 af ringstedLC

$\begin{align*} \frac{F}{\mathrm{d} t} &= I(t) \\ \end{align*}$

$\begin{align*} F_{300} &= \int_{0}^{300}\!I(t)\,\mathrm{d}t \\ \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
04. januar 2023 af ringstedLC

$\begin{align*} I(t) &= 135\Rightarrow t=\left\{\begin{matrix} t_1\\t_2 \end{matrix}\right. \end{align*}$

$\begin{align*} K(t) &= I(t)-135\;,\;t_1\leq t\leq t_2 \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. januar 2023 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \textbf{A)}\\&& I(t)=-\frac{1}{360}\cdot t^2+\frac{2}{3}\cdot t+100 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
05. januar 2023 af Soeffi

#0. Indsætter opgavetekst.

På en trafikeret motorvej måles intensiteten af biler i ”biler pr minut”. Der er gjort følgende observationer:
Kl. 6:00 (t=0)måles 100 biler/minut
Kl. 8:00 (t=120) måles det største antal biler/minut
Kl. 11:00 (t=300) måles 50 biler/min
I(t) betegner intensiteten som funktion af tiden t (i minutter). Grafen for I er i intervallet [0;300] tilnærmelsesvis en del af en parabel.

A) Bestem I(t).
B) Beregn det største antal biler pr minut.
C) Det antal biler der indenfor et givent tidsrum passerer målestedet, betegnes F. Gør rede for, at F kan
beregnes som: F=I(t)*dt.
D) Hvor mange biler passerer der i alt i tidsrummet mellem kl 6:00 og 11:00?
Under et vejarbejde indsnævres vejbanen således, at der maximalt kan kører 135 biler/minut.
E) Hvornår vil der dannes kø? Kommenter kort resultatet.
K(t) betegner antallet af ventende biler i køen.
F) Angiv en forskrift for K(t), samt definitionsmængden for K(t).
G) Hvornår venter der flest biler? Og hvor mange?
H) Tegn graferne for I(t), K(t) samt grafen for antallet af biler der slipper igennem som følge af vejarbejdet.
I) Kommenter på de i H) tegnede grafer, læg især vægt på skæringspunkter, toppunkter og arealer.

Svar #7
10. januar 2023 af squidg

@ ringstedLC

kan du uddybe hvordan du har gjort?

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. januar 2023 af ringstedLC

Har egentlig ikke gjort andet end at opstille nogle udtryk og ligninger, der kan hjælpe dig. Så du må mere konkret beskrive, hvad du ikke forstår.

Svar #9
11. januar 2023 af squidg

@ ringstedLC

f.eks. i opg E hvordan og hvorfor bliver i(t) til det her $\begin{align*} I(t) &= 135\Rightarrow t=\left\{\begin{matrix} t_1\\t_2 \end{matrix}\right. \end{align*}$ ?

og i opg F hvorfor man skal sige -135 til i(t) og hvordan t's interval hængersammen?

Brugbart svar (0)

Svar #10
11. januar 2023 af ringstedLC

E: Linje med ligningen y = 135 "skærer" toppen af parablen. Det giver kø i tidsrummet t₁ til t₂.

Løs ligningen!

F: K(t) er den afskårne top.

En tegning giver overbliik!

Brugbart svar (0)

Svar #11
11. januar 2023 af Soeffi

#0. Geogebra tegning til H).

A: Intensiteten kommer over 135 biler/min

B: Største vækst i køen, intensiten af biler topper

C: Længste kø, intensiteten igen under 135 biler/min

D: køen afviklet

Vedhæftet fil:motorvej.png

Svar #12
12. januar 2023 af squidg

@Soeffi

I funktionen K(x) hvordan har du fået k-værdien til at være 1141.42?

Brugbart svar (0)

Svar #13
12. januar 2023 af Soeffi

#0. Løsningsskitse

$I(t)=at^2+bt+c$

...hvor a, b og c findes ved at løse de tre ligninger:

$I(0)=100,\;I(300)=50,\; og\; I'(120)=0$

...(t = 120 er parablens toppunkt.)

$I(120)$

C) I et tidsrum dt ankommer der I(t)·dt biler = dF. I et tidsrum fra t₁ til t₂ ankommer derfor:

$\int_{t_1}^{t_2}dF=\int_{t_1}^{t_2}I(t)dt=F(t_2)-F(t_1)$

$F(300)-F(0)$

E) Løs ligningen...

$I(t)=135$
...med hensyn til t. Løsningerne t₁ og t₂ (hvor t₁ < t₂) bruges i dette og de følgende spørgsmål. Køen
opstår ved t₁, der er første tidspunkt, hvor der ankommer mere end 135 biler pr. min.

F) Løs i CAS...

$K(t)=\int_{t_1}^{t-t_2}I(t)-135\;dt$
Definitions mængde: De t ≥ 0 for hvilke K(t) ≥ 0.

G) Køen er længst ved tidspunktet t₂, der blev bestemt i (E), som er det sidste tidspunkt, hvor der kommer
flere biler ind end, der kommer ud.

I) A er det tidspunkt, hvor køen starter. Kurven for I(t) skærer y = 135 første gang
B er det tidspunkt, hvor den vokser hurtigst og det tidspunkt, hvor intensiteten af biler størst. (Det er ikke
nødvendigvis det tidspunkt, hvor der passerer flest biler, det kommer an på om der er vejarbejde).
C er det tidspunkt, hvor der sidst kommer flere biler ind end der kører ud og dermed det tidspunkt, hvor
køen er længst. Kurven for I(t) skærer y = 135 for sidste gang.
D er det tidspunkt, hvor køen ender (ca. 205 min.)

Arealet under den røde kurve er det samlede antal biler, der passerer (uanset kø).
Arealet under den blå kurve er det samlede antal af biler, som kommer til at holde i kø.

Brugbart svar (0)

Svar #14
13. januar 2023 af Soeffi

#13. Tilføjelse:...G)...Køens største længde er K(t₂)

Skriv et svar til: mortorvejen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.