Stamfunktion

Brug substituion y = kvrod(x)     dy = ½*x^-½dx

Jeg er stadig ikke helt med på hvordan jeg skal løse opgaven.

så bliver g(x) = y²/(y+3)   dx = 2*xdy = 2y²dy Du får derefter at du skal integrerer en brøk mellem polynomier.

Kan du ikke bruge dit CAS værktøj?

#3 Du ved at G'(x) = g(x) angiver hældningen for tangentlinjen i punktet (x*, G(x*) ), og i opgaven får du oplyst, at den er 4. Dermed er  

x/ (√x +3) = 4 ⇔ x* = 36

Dvs. tallet 36 er 1.koordinaten til fællespunktet ml. G og tangentlinjen. Den tilhørende 2.koordinat G(x*) svarer til y(36) = 144 - 108·ln(3). Fællespunktet er (36, y(36)) = (36, 144 - 108·ln(3)).

Nu bestemmes G: Med u = √x + 3 er 

G(x) = ∫ g(x) dx = ∫ ( x/ (√x +3) ) dx                                                                                                                                                 = 2·∫ ( (u - 3)³/u ) du                                                                                                                                               = 2·∫ ( (u³ - 9u + 27u -27)/u ) du                                                                                                                             = 2·∫ ( u² -9u + 27u -27/u ) du                                                                                                                               = 2· ( (1/3)u³ - (9/2)u² + 27u - 27·ln(u) + C )                                                                                                         = (2/3)u³ - 9u² + 54u - 54·ln(u) + C                                                                                                                       = (2/3)(√x +3)³ - 9(√x +3)² + 54(√x +3) - 54·ln(√x +3) + C 

Konstanten C bestemmes: 

(2/3)(√(36) +3)³ - 9(√(36) +3)² + 54(√(36) +3) - 54·ln(√(36) +3) + C = 144 - 108·ln(3) ⇔ C = -99

Stamfunktionen G, hvis integralkurve har y = 4x - 108·ln(3) som tangent har forskriften

G(x) = (2/3)(√x +3)³ - 9(√x +3)² + 54(√x +3) - 54·ln(√x +3) - 99.

#3 Se evt. bilag.

Rettelse til #5

G(x) = ∫ g(x) dx = ∫ ( x/ (√x +3) ) dx                                                                                                                                                 = 2·∫ ( (u - 3)³/u ) du                                                                                                                                               = 2·∫ ( (u³ - 9u² + 27u - 27 ) /u ) du                                                                                                                       = 2·∫ ( u² - 9u + 27 - 27/u ) du                                                                                                                               = 2· (  (1/3)u³ -  (9/2)u² +27u - 27·ln(u) + C  )                                                                                                       = (2/3)u³ - 9u² + 54u - 54·ln(u) + C                                                                                                                       = (2/3)(√x +3)3 - 9(√x +3)2 + 54(√x +3) - 54·ln(√x +3) + C 

Jeg forsøgte at løse opgaven i går aftes. Men jeg fik det til dette her (se de 2 vedhæftede filer).

Hvad har jeg gjort forkert - altså er det en helt forkert metode jeg anvender?

Tak for hjælpen.

Opgave 13 del 2

#8 & #9 Venligst vedhæft opgaveteksten.

Her er opgaveteksten.

#8 Umiddelbart ser indholdet i billedet ved navn 'Opgave 13 del 1' fint ud.

Indholdet i det andet er ikke, da du ved 2.linje skriver ligningen 4x/(x²+3) = -2. Fejlen ligger i nævneren; ligningen burde være 4x/(x²+1) = -2. Erstat 3-tallet med tallet 1.

Det er uvist, hvordan er du kommet frem til 3.linje

#8 Har lige opdaget en fejl i billedet 'Opgave 13 del 1'. Forskriften til stamfunktionen G burde være G(x) = 2·ln(x² +1) + k. Du skriver G(x) = 2·ln(x² +3) + k. Da t = x² +1, skal du ligeledes her erstatte 3-tallet med tallet 1. 

#0. Løsning i Wolfram Alpha...

#0. Man har

G(x) og y(x) rører hinanden for x = x₀. Dvs. at 

Dvs. 

Okay super!

Tusind tak for hjælpen :)