Kombinatorik

Bemærk at hvis man trækker a fra sæk 1 så er f den eneste mulighed fra sæk 2. så (med doven notation) P(f|a)=1. Husk at en betinget sandsynlighed er givet ved P(A|B)=P(A og B)/P(B).

Ok det giver mening. Men jeg får problemer med den næste:

- Hvad er sandsynligheden for at trække be?

Intuitivt ville jeg sige: sandsynligheden for b gange sandsynligheden for e i stedet for g,

P = B*E/(E+G)

Men hvis jeg bruger din formel for betinget sandsynlighed får jeg:

P = B*E/E = B

i #1 betyder det  P(A|B)=P(A∩B)/P(B)

Husk at P(A og B)=P(A)*P(B) kun gælder når A og B er uafhængige.

Bemærk igen at hvis e er trukket i sæk 2 er b den eneste mulighed for sæk 1.

Så P(b og e)=P(b|e)P(e)=1*E=E.

Altså intuitivt er det fordi at alle de muligheder hvorved du kan trække e i sæk 2 på, vil du også trække b i sæk 1. Så sandsynligheden for at trække b og e er nøjagtig den samme som sandsynligheden for at trække e.  

#4

Burde man ikke få det samme når man bytter om på b og e?

P(e og b) = P(e|b)P(b) = (E/(E+G))*B

fordi når man har trukket b, så kan man både trække e og g.

Så burde B = E+G, men det passer ikke.

Selvfølgelig burde de give det samme.

Hvorfor mener du at P(e|b)=E/(E+G)?

Du kan skrive E som E = P(e|a)P(a)+P(e|b)P(b)+P(e|c)P(c)+P(e|d)P(d)=0*A+P(e|b)*B+0*C+0*D=P(e|b)*B,

så P(e|b)*B=E.

Jo det giver mening, tak!

- Hvad er sandsynligheden for at trække bg?

Jeg bruger dit trick:

P(b) = P(b|e)P(e) + P(b|f)P(f) + P(b|g)P(g) + P(b|h)P(h)

= P(b|e)P(e) + 0 + P(b|g)P(g) + 0

hvor P(b|e) = 1, så

= P(e) + P(b|g)P(g)

⇒ P(b|g) = (P(b) - P(e))/P(g)

Så benytter jeg at P(b og g) = P(b|g)P(g) og får:

⇒ P(b og g) = (P(b) - P(e))/P(g) *P(g) = P(b) - P(e)

Kan det passe? Har på fornemmelsen at det ikke passer.

Det er ikke mit trick https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_probability :)

Det ser umiddelbart rigtig fint ud, en anden mulighed er at givet b i sæk 1 er der kun mulighederne bg og be så P(g|b)+P(e|b)=1 => P(g|b)=1-P(e|b)

Gange med P(b) på begge sider, så får vi:

P(g og b) = P(g|b)P(b) = P(b)-P(e|b)P(b) =P(b)-P(b og e) =P(b)-P(e).

Jeg kan bedre lide din fremgangsmåde dog!

Hvad hvis P(b) = P(e) ? Så bliver P(b og g) = 0, er det ikke mærkeligt?

Vi havde jo før at P(e|b)*B=E så hvis B=E gælder enten at B=E=0 (i så fald er P(b og g)=0 ) eller at P(e|b)=1, det vil altså sige at hvis vi har trukket b, så trækker vi helt sikkert e, og P(b og g) må altså være 0.

Det er også rimeligt intuitivt, husk at alle kombinationer som indeholder e er umulige udover be, så hvis den marginale sandsynlighed for b og e skal være den samme, har du ikke noget "ekstra" sandsynlighed at allokere til bg.

Tak for hjælpen!