Matematik

Logistisk differentialligning

20. marts 2023 af ChristinaEUX - Niveau: A-niveau

I en sø er der i 2014 udsat en ny fiskeart. Man forventer, at antallet af fisk af denne art N kan beskrives ved differentialligningen:

dN/dt=0,00005 * N * (8000-N)

t måles i år.

Hvor stor er bæreevnen for antallet af fisk i denne sø?
Hvor stor er fiskebestanden på det tidspunkt, hvor bestanden vokser hurtigst?
Hvor stor er væksthastigheden på det tidspunkt, hvor bestanden vokser hurtigst?

I 2014 har man udsat 1500 fisk i søen.

Hvor mange fisk er der ifølge modellen i søen i år 2019?
Hvilket år er der 7000 fisk i søen?

Jeg er helt fortabt, er der nogen som kan hjælpe på nogen måde og forklare hvad jeg skal gøre?

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. marts 2023 af Moderatoren

Se: https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1724001

Eller beskriv din tvivl.

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. marts 2023 af peter lind

Du kan bruge dit CAS værktøj til at løse differentialligningen

Bæreevnen kan du finde nemmere. Den er karakteriseret ved at N'(t) = t

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. marts 2023 af AMelev

#0 Alternative metoder

Da fiskene først sættes ud i 2014, vil det være rimeligt at lade t være antal år efter 2014
sp.1) Du kan også løse ligningen ved at benytte,at $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=a\cdot y\cdot (M-y)$ har løsningen $y=\frac{M}{1+C\cdot e^{-a\cdot M\cdot t}}$ :, altså en logistisk vækst.

sp. 2) For en logistisk vækst gælder, at væksthastigheden er størst når y = ½M. Det kan du benytte, hvis I har haft det, men ellers er det hurtigt vist:
Væksthastigheden er jo dN/dt=0,00005 * N * (8000-N), som er et 2.gradspolynomium i N, så max fås i toppunktet, som ligger midt mellem de to nulpunkter.

sp.3) Indsæt den fundne N-værdi i differentialligningen og beregn

sp. 4) Indsæt N(0) = 1500 og løs ligningen mht. c
2019 er 5 år efter 2014, så beregn N(5)

sp. 5) Løs ligningen N(t) = 7000

Svar #4
21. marts 2023 af ChristinaEUX

Okay, tak for alle svarene, jeg prøver mig frem med jeres hjælp, det gav mere mening med forklaringerne.

Skriv et svar til: Logistisk differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.