Matematik

HJÆLP Opgaver til Logistisk differentialligning

29. november 2016 af Katywz - Niveau: A-niveau

Håber der nogen der kan hjælpe os!
I en sø er der i 2014 udsat en ny fiskeart. Man forventer, at antallet af fisk af denne art N kan beskrives ved differentialligningen:

dN/dt=0,00005*N*(8000-N)

hvor t måles i år.

1. Hvor stor er bæreevnen for antallet af fisk i denne sø?

2. Hvor stor er fiskebestanden på det tidspunkt, hvor bestanden vokser hurtigst?

a) Tegn grafen med forskriften N’=0,00005 · 8000 · N −0,00005 · N^2

b) Hvorfor viser toppunktet her fiskebestanden når den vokser hurtigst.

3. Hvor stor er væksthastigheden på det tidspunkt, hvor bestanden vokser hurtigst? I 2014 har man udsat 1500 fisk i søen.

Tak på forhånd :-)

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. november 2016 af peter lind

1. Løs ligningen n'=0

2. Løs ligningen løs ligningen N''(t) = 0

3. N'(t) er væksthastigheden så indsæt antal fisk i differentialligningen

Brugbart svar (0)

Svar #2
29. november 2016 af mathon

2.
$\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}=5{,}0\cdot 10^{-5}\cdot N\cdot \left ( 8000-N \right )$ hvis graf er en grennedadvendende parabel
med nulpunkter og 8000 samt toppunkt
for $N=\frac{0+8000}{2}=4000$

Svar #3
29. november 2016 af Katywz

Tak

Vi arbejder i maple, hvor vi plejer at definere funktionen til at starte med. Hvordan gør vi dette, idet funktionen allerede er differentieret, altså N'?

Brugbart svar (0)

Svar #4
29. november 2016 af ShadowFang (Slettet)

#3

Jeg er ikke helt sikker på, jeg forstår, hvad du mener. Desuden har jeg ikke kendskab til programmet Maple, men prøv at integrere dN/dt.

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. november 2016 af mathon

Endvidere for
$y{\, }'=a\cdot y\cdot (M-y)>0\; \; \; \; \; \; \; \; 0<y<M$
er:
$y{\, }''=a\cdot y{\, }'(M-y)+ay\cdot \left ( -y{\, }' \right )$

$y{\, }''=ay{\, }'\left ( M-y-y \right )$

$y{\, }''=ay{\, }'\left ( M-2y \right ).$

Maksimal væksthastighed
kræver:
$y{\, }''=ay{\, }'\left ( M-2y \right )=0$
det vil, da $ay{\, }'>0$
sige
M-2y=0

$y=\frac{M}{2}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
29. november 2016 af mathon

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=a\cdot y(M-y)\; \; \; \; \; 0<y<M$
har løsningen:
$y(t)=\frac{M}{1+Ce^{-aMt}}$

Skriv et svar til: HJÆLP Opgaver til Logistisk differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.