Matematik

Funktioner af to variable, 2 opgaver

09. oktober 2023 af MikeCharlie - Niveau: A-niveau

1. Opgave

En model af et sort hul, beskrives ved forskriften $f(x,y)=ln(x^2+y^2)$

Bestem en forskrift for tangentplan i punktet $P(1,1,f(1,1))$ .

Jeg definerer funktionen og finder det søgte punkt $f(1,1)=ln(2)\Rightarrow P(1,1,ln(2))$

Differentierer partielt og indsætter $z=p(x-1)+q(y-1)+ln(2)\Leftrightarrow z\approx x+y-1.307$

Men facit siger $z=-x-y-1.307$ . Hvor går jeg galt i byen?

2. Opgave

Standardnormalfordelingen i rummet er givet ved $f(x,y)=e^{-x^2-y^2}, -1\leq x\leq 1, -1\leq y\leq 1$

Bestem 3. koordinaten til punkterne $P(-1,1,f(-1,1))$ og $Q(1,1,f(1,1))$ .

Disse giver begge $z__0=e^{-2}\Rightarrow P(-1,1,e^{-2}) \wedge Q(1,1,e^{-2})$ . Så langt så godt (med forbehold om skrivefejl).

Jeg skal nu angive en forskrift for snitkurven i $y=1$ , hvilket jeg får til $f(x,1)=e^{-x^2-1}$ , men jeg er i tvivl om dette er korrekt.

Til sidst skal jeg bestemme buelængden for snitkurven i $x\in[-1;1]$ , hvilket bestemmes med $L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}dx$ , men her står jeg altså fast

Brugbart svar (1)

Svar #1
09. oktober 2023 af peter lind

Må du ikke bruge dit CAS værktøj? Du kan i hvert fald bruge det til at kontrollere.

Du skal bruge differentiation af sammensat funktion sammensat af ln og x<²+y².

p = ∂f/∂x = 1/(x²+y²)*∂(x²+y²)∂x = ? tilsvarende for q

Hvorfor kan du ikke finde ud af den sidste ? Kan du ikke differentiere f? eller hvad?

Brugbart svar (1)

Svar #2
09. oktober 2023 af mathon

Opgave 1

Du går ikke galt i byen,
da
$\small \begin{array}{llllll}& f_x{}'(f(x,y))=\frac{1}{x^2+y^2}\cdot 2x\\\\& f_y{}'(f(x,y))=\frac{1}{x^2+y^2}\cdot 2y \\\textup{og}\\& p=1\\\\& q=1 \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
09. oktober 2023 af mathon

Opgave 2

$L=\int_{-1}^{1}\sqrt{1+\left ( 4x^2\cdot e^{-2x^2-2} \right )}\;\mathrm{d}x$ ,

Svar #4
09. oktober 2023 af MikeCharlie

Tak for svar. Jeg formoder facit er forkert, da jeg ikke ser nogen fejl i min partielafledning i Maple.

@peter lind I den sidste bøvler jeg med differentiationen, ja

@mathon Hvordan kom du frem til L? Er med på at a=-1 og b=1

Brugbart svar (1)

Svar #5
09. oktober 2023 af peter lind

f(x) = e^x2+1 ydre funktion exp indre funktion x²+1 f'(x) = e^x2+1*(x²+1)'= e^x2+1*2x

Brugbart svar (1)

Svar #6
09. oktober 2023 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll} \\ \#{\mathbf{4}}\\&& f(x)=e^{-x^2-1^2}=e^{-x^2-1}\\\\&& f{\, }'(x)=e^{-x^2-1^2}\cdot \left ( -x^2-1 \right ){}'=e^{-x^2-1^2}\cdot \left ( -2x \right )=-2x\cdot e^{-x^2-1}& \textup{produktregel og }\\&&&\textup{sammensat funktion}\\\\&& f{\, }'(x)^2=\left (-2x\cdot e^{-x^2-1} \right )^2=\left ( -2x \right )^2\cdot \left (e^{-x^2-1} \right )^2=4x^2\cdot e^{-2x^2-2} \end{array}$

Svar #7
09. oktober 2023 af MikeCharlie

Ah, selvfølgelig. Jeg stirrede mig blind på f(x,y) og fik fejlmeldinger da jeg gik igang med at diffe f'(x,1). Tak for hjælpen begge to.

Jeg får $L=\int_{-1}^{1}\sqrt{1+4x^2(e^{-x^2-1})^{2}}dx\approx 2.0614$

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. oktober 2023 af mathon

#7
Korrekt.

Skriv et svar til: Funktioner af to variable, 2 opgaver

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.