Matematik

Stamfunktioner

11. november 2023 af claudia1o11 - Niveau: A-niveau

Hej.

Jeg kan simpelthen ikke forstå hvordan stamfunktioner hænger sammen og jeg skal snart til eksmaen...

F.eks.

Integralet fra 3x² + 3x dx

= x³+ 2/3x²+ k

Jeg har fanget at man skal smide en konstant på, men det andet forstår jeg simpelthen ikke.

Er der nogen der kan vise mig måde hvordan man regner det ud på?

Brugbart svar (1)

Svar #1
11. november 2023 af Quarr

Husk: $F'(x)=f(x)$

Når du differentierer en konstant giver det altid 0.

- - -

Brugbart svar (1)

Svar #2
11. november 2023 af Christianfslag

#0
Hej.

Jeg kan simpelthen ikke forstå hvordan stamfunktioner hænger sammen og jeg skal snart til eksmaen...

F.eks.

Integralet fra 3x² + 3x dx

= x³+ 2/3x²+ k

Jeg har fanget at man skal smide en konstant på, men det andet forstår jeg simpelthen ikke.

Er der nogen der kan vise mig måde hvordan man regner det ud på?

Det skal bemærkes, at integration blot er den inverse matematiske operation af differentiering. Dette betyder, som Quarr bemærker, at

$F'(x)=f(x)$

eller

$\int f'(x)=f(x)$

Grunden til, at

$\int 3x^2+3xdx=x^3+\frac{2}{3}x^2+k$

Er fordi

$(1) :(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$

$(2) :(k\cdot x^n)=k\cdot n\cdot x^{n-1}$

$(3) :(k)'=0$

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. november 2023 af MentorMath

Et godt råd op til eksamen er også, hvis ikke du føler dig helt stærk i at bestemme stamfunktioner, at træne at differentiere en masse funktioner af typen xⁿ, idet det er en fordel, at kunne tænke det omvendte af differentiation.

NB: Det er ikke altid vi kan bestemme en stamfunktion som vist her. I nogle tilfælde, skal vi bruge andre tricks som substitution eller delvis integration (fx hvis vi har et udtryk med et integral, hvori der indgår en sammensat funktion).

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2023-11-11 164608.png

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. november 2023 af ringstedLC

$\begin{align*}F(x) &= \int\!f(x)\,\mathrm{d}x\;,\; F'(x)=f(x) &&\textup{Definitionen af en stamfunktion} \end{align*}$

En differentieret stamfunktion er altså den oprindelige funktion for stamfunktionen.

Eksemplet:

$\begin{align*} F(x) &= x^3+\tfrac{{\color{Red} 3}}{{\color{Red} 2}}x^2+k \\ \Rightarrow F'(x) &= \Bigl(x^3+\tfrac{3}{2}x^2+k\Bigr)' \\ &= 3x^{3-1}+2\cdot\tfrac{3}{2}x^{2-1}+0 \\ F'(x) &= 3x^2+3x=f(x) \end{align*}$

Det er integrationsprøven som kan anvendes til at kontrollere en integration.

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. november 2023 af ringstedLC

Bestemmelse af stamfunktionen:

$\begin{align*} f(x) &= 3x^2+3x \\ F(x) &= \int\!f(x)\,\mathrm{d}x \\&= \int\!3x^2\,\mathrm{d}x+\int\!3x\,\mathrm{d}x &&\textup{formel (160), STX A} \\ &= 3\cdot \!\int\!x^{\color{Red} 2}\,\mathrm{d}x+3\cdot\!\int\!x^1\,\mathrm{d}x &&\textup{formel (159), STX A} \\ &= 3\cdot \frac{1}{{\color{Red} 2}+1}\,x^{{\color{Red} 2}+1}+k_1+3\cdot \frac{1}{1+1}\,x^{1+1}+k_2 &&\textup{formel (153), STX A} \\ F(x) &=x^3+\tfrac{3}{2}x^2+k\;,\;k=k_1+k_2\end{align*}$

Denne løsning kaldes den fuldstændige løsning fordi alle funktioner på denne form tilfredsstiller F '(x) = f(x)

En partikulær løsning kan bestemmes, hvis man har et kriterie fx i form af et punkt som grafen for F går igennem:

$\begin{align*} F(x) &=x^3+\tfrac{3}{2}x^2+k\;,\;P=(1,5) \\ \Rightarrow F(1)=5 &= 1^3+\tfrac{3}{2}\cdot 1^2+k \Rightarrow k=\tfrac{5}{2} \\\\ \Rightarrow \textup{grafen\,for}\;F(x) &=x^3+\tfrac{3}{2}x^2+\tfrac{5}{2}\;\;\textup{g\aa r\,igennem}\;P=(1,5)\end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. november 2023 af mathon

Jeg har fanget at man skal smide en konstant på, men det andet forstår jeg simpelthen ikke.

Er der nogen der kan vise mig måde hvordan man regner det ud på?

$\small \begin{array}{lllllll} \textup{Generelt:}\\&& \int k\cdot x^n\mathrm{d}x=k\cdot \frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}\\\\&& \textup{\textbf{Hvordan} man vil huske reglen er individuelt.} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
11. november 2023 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{lllllll} && \textup{Integrationspr\o ven} \textup{ som kan anvendes til at kontrollere integrationen:}\\\\&& \left ( \frac{k}{n+1}\cdot x^{n+1} \right ){}'=\frac{k}{n+1}\cdot\left ( n+1 \right )\cdot x^{n+1-1}=k\cdot x^n \end{}$

Skriv et svar til: Stamfunktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.