g(x)=x^a?! :)

 Hvis g(x) skal være differentiabel, skal den være kontinuert og uden såkaldte "knæk" på dens graf.

Bare et forslag..

 Jeg har godt nok ikke lært differentialregning endnu, men skal du ikke vise at grafen for den er differentialbel i alle punkter?, men hvad så med x = 0?

 Ja, men hvordan ville et bevis se ud for g(x)=x^a?? :)

Brug tretrinsreglen. Du vil undervejs opdage x^a forekommer i både f(x₀) og i f(x₀ + h), så x^a går ud i tælleren. I resten af leddene står der h i forskellige potenser. Osv.

#2 Ja, Uha. Forresten: er a et helt tal? Ellers: Uha, Uha

 #4 Har prøvet men det giver ikke mening, hvis ikke det er til meget besvær vil du så ikke forklare mig det step by step? Har lavet de andre beviser som jeg skulle kan bare ikke helt se hvad jeg skal her ? 

Det kan godt være det bare er mig oven på en lang dag =) 

På forhånd tak!

Det er altid lidt vanskeligt at give hjælp til den slags opgaver uden at kende trådstarters forudsætninger i opgaven.

Hvis man kan forudsætte kendt, at eksponentialfunktionen e^x og logaritmefunktionen ln(x) er differentiabel, finder man

x^a = e^a·ln(x) ,

og dermed

(x^a)' = e^a·ln(x)·a/x = x^a·a/x = a·x^a-1

 #7 Det er fordi, at jeg har fået et "eksamens-spørgsmål" som vi skal besvare i klassen - øvelse...

     Et af mine opg. er, at jeg skal vise at g(x)=x^a 

    Jeg har allerede besvaret at f(x)=kvrd. x

    Er det nok at svare som ovenstående? :)

1) f(x₀ + h) - f(x₀) = (x₀ + h)^a - x₀^a = x₀^a + ax₀^a-1h + ... - x₀^a = ax₀^a-1h + ... (led med h² eller højere)

2) (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h = ax₀^a-1 + ... (led med h¹ eller højere)

3) lad h gå mod nul

#9

Det forudsætter dog, at a er heltallig og ≥ 0 , og at binomialformlen er kendt.

Man kan også gå frem ved induktion, idet man først (ved 3-trins reglen) viser, at f(x) = x er differentiabel, og dernæst bruger differentiabilitet af et produkt af differentiable funktioner til at komme fra n til n+1 . Tilsvarende kan man vise, at x^-n er differentiabel for alle heltallige positive n.

 det er sikkert mig som er dum men hvordan går du fra;

 (x₀ + h)^a - x₀^a til x₀^a + ax₀^a-1h ? Troede bare man benyttede kvadratsætningerne ? 

x0^a+h^a+ax0*h?? 

#11

Du kan kun benytte kvadratsætningerne, hvis a = 2. Her kan a være en vilkårlig (heltallig) eksponent.

#11

Her har du faktisk a identiske parenteser (x₀ + h), som skal ganges sammen. Hvis du tager h fra den ene og x₀ fra hver af de a-1 andre, får du h·x₀^a-1. Det kan du gøre på n måder, da der er a parenteser, hvor du kan vælge h. Derfor ax₀^a-1h.

Du kan også vælge h fra 2 af parenteserne; men så får du led med h², derfor "led med h² eller højere". Koefficienterne til disse led betyder ikke noget, da de alligevel går ud under grænseovergangen. Se #9.

Men det kræver altså, at a er heltallig og positiv, ellers må du bruge #7.