Matrice opgave

Når momentet er uændret vil Den sidste række være  0   0   1 og den sidste søjle vil være den transponerede af dette (en enhedsvektor). Det resterende vil være en almindelig drejningsmatrix.

#0

Du skal være opmærksom på, at det matematiske begreb, et skema med tal opstillet i rækker og søjler, kaldes en matrix, mens en matrice er en støbeform med et fordybet mønster. I bestemt form hedder begge ord matricen, og i flertal matricer, selv om matrixen og matrixer også er accepterede former på dansk for det matematiske begreb.

#2

Vi har kun haft én lektion omkring dette emne, hvorfor forvirring kan opstå. Det jeg er ude efter er et skema med tal opstillet i rækker og søjler (3 x 3), men er i tvivl hvordan dette skal se ud. Ud fra #1 kender vi tilsyneladende hele række 3 og søjle 3.

Jeg er kommet frem til følgende matrix for T:

cos(θ)   -sin(θ)   0

sin(θ)    cos(θ)   0

0           0           1

Hvordan kan man finde den inverse matrix for denne type?

I dette eksempel er det simpelt at finde den inverse. Du skal bare ændre fortegn på θ. Så drejes der jo den modsatte vej, så du er tilbage til udgangspunktet.

#5

Jeg var mere ude efter en generel "formel", hvis der nu er for at finde den inverse matrix. Er det svært?

Det kan det godt blive eller rettere det kan blive et meget stort arbejde. Hvis du har matricen A og vil finde den inverse til A skal du løse ligningssystemet  A*B = I, hvor B er den søgte matrix og I er enhedsmatricen. Normalt bruger man CAS værktøjer til det.

#8

Ja, fremgangsmåden forstår jeg godt. Da selve opgaven kan være et spørgsmål til eksamen, ville det være godt, hvis man "bare" lige kunne regne det ud i hånden.

Jeg tror ikke meget på at du kommer op i detaljerne i det. Dertil er det for stort et arbejde.  Hvis matricen er A og den først søjle i B er b₁ = (b₁₁ b₂₁ b₃₁ ... ) og  e₁ = ( 1 0 0 0.. ) er enhedvektoren (søjlevektor) skal du løse ligningen A*b = e₁.facit bliver første søjlevektor i B

Anden søjlevektor b₂ finder du som løsningen til A*b₂ = e₂  o.s.v Da det er samme matrix man skal løse ligningerne for kan det gøres i et hug ved brug af Gauss eliminering eller hvilken metodel man nu bruger.

#9

Gauss eliminering lyder bekendt. Er det ikke dér, hvor man transformerer [A | I] om til [I | A^-1]?

Kan man ikke kun bruge det i forbindelse med kvadratiske matricer?

Nej. Det er primært en metode som løser lineære ligningssystemer. Dette kan så i sidste instans også føre til at finde den inverse til en matrix. Se http://matleks.infa.dk/index.php?id=3&no_cache=1&tx_lfmatleks_pi1[word]=3080

#11

Enhedsvektor gælder for kvadratiske matricer. Derfor mente jeg også, hvis man skal skrive transformationen som i #10, så har man også indirekte skrevet at det gælder for kvadratiske matricer. Sådan er det åbenbart ikke så?

Nu har jeg opstillet [T | I]. Har du en idé om, hvad man kunne starte med at gøre?

Det første afsnit ser meget mærkeligt ud. Jeg forstår den ikke.

Til det sidste spørgsmål. Så vidt jeg kan se er du dermed færdig. Hvis der også er et spørgsmål b skal jeg kende dette spørgsmål for at kunne svare på det.

#13

Til det første afsnit:

Vi har lært, at definitionen på en enhedsmatrice er en kvadratisk matrice, hvor alle elementerne over og under hoveddiagonalen er nul og elementerne i diagonalen er 1. Så spørger jeg så om metoden rækkereduktion eller gauss elimination ikke kun gælder for kvadratiske matricer, netop fordi man er ude i       [A | I] --> [I | A^-1], hvor I er en enhedsmatrice.

Til det næste afsnit:

Jeg har opstillet [T | I] og vil gerne lave den op til [I | T^-1]. Har du bud på, hvad jeg skal gøre ved de enkelte rækker således der sker en transformation til den inverse matrice?

Du må ikke blande løsning af lineære ligninger sammen med at finde inverse matricer. Når det drejer sig om at finde inverse matricer giver det kun mening, hvis det er en kvadratisk matrix. Gauss eliminering kan godt foretages på ikke kvadratiske matricer; men det gøres sjældent.

Til det sidste spørgsmål se #5

#15

Jeg tror nok, at problemet er, at jeg blander de to løsningsmetoder sammen. I forbindelse med min opgave drejer det sig altså om en kvadratisk matrix, hvor den inverse matrix skal findes ved en almindelig rækkereduktion. Opstillingen ser følgende ud:

cos(θ)   -sin(θ)    0      ,   1    0   0

sin(θ)    cos(θ)   0       ,   0    1   0

   0          0          1      ,    0   0   1

Hvad vil være det første man gør her, HVIS man skal regne det ud ved almindelig matematik? Jeg tænker på at dividere hele første og anden række med cos(θ), så står der i det mindste 1 i hoveddiagonalen på venstre side.

Det kan du godt gøre; men det normale er at trække den første linje ganget med sin(θ)/cos(θ= tan(θ) fra den anden linje. Det gør nemlig at at a₂₁ bliver 0

Så står der:

cos(θ)     -sin(θ)                              0    , 1                      0   0

0             cos(θ)+sin²(θ)/cos(θ)      0     , -sin(θ)/cos(θ)   1    0

0            0                                       1     , 0                      0   1

Hvad så nu?

En anden (nemmere) metode som jeg bed mærke i var "bestemmelse af den inverse matrix ved at kende determinant og "cofactor" (på engelsk)". Er der et dansk ord, der erstatter den engelske betegnelse "cofactor"?

Sæt cos(θ)+sin2(θ)/cos(θ) på en fælles brøkstreg. Så får du et meget pænere resultat. Dereftter ganger du den anden ligning med en faktor så a₂₂ bliver 1. Adder dernæst anden ligning ganget med sin(θ) til første linje, og du er færdig.

cofactor er vist nok det der hedder underdeterminanter på dansk. Med kun 2 ligninger med 2 ubekendte kan den godt bruges; men er der flere ubekendte er den langt mere besværlig. Med en n×n matrix skal du beregner determinanten for n²     (n-1)×(n-1) matricer plus determinanten for en  n×n matrix. Med 3 ubekendte skal du altså udregne determinanten for 9  2×2 matricer +en 3×3 matrix ( i din opgave er det determinanten for T)