vejledende eksamensopgaver

Der er uendeligt mange punkter, der kan projiceres på a i det givne punkt. Er det også oplyst, at P skal ligge på linien l ?

ja undskyld det glemte jeg at skrive.

Der står:

Bestem koordinatsættet til punktet P på l, hvis projektion på a har koordinatsættet (-2 2 3)

#2

Idet vi kalder det givne projektionspunkt for Q(-2;2;3), skal man så bestemme det punkt P på linien l, således at vektoren PQ er parallel med en normalvektor til planen a. Vektoren PQ kan udtrykkes ved hjælp af parameteren t for linien l.

jeg er stadig helt væk i, hvad jeg skal regne ud.

hvordan udtrykker jeg PQ og gør brug af min viden at den skal være parallel med normal til a?

skal jeg bruge determinanten af de vektorer, som giver 0 hvis de er parallelle?

#4

Lad P være det til parameteren t svarende punkt på linien l . Da har P koordinaterne (1+t ; 2-t ; 3+t) . Vektoren PQ er da

PQ = (-2 ; 3 ; 3) - (1+t ; 2-t ; 3+t) = (-3-t ; 1+t ; -t)

En normalvektor til planen a er vektoren n = (2 ; -1 ; 1) . Man skal så bestemme t, således at vektorerne PQ og n er parallelle.

Når jeg så har fundet ud af, at t er lig med -1,5, skal jeg så indsætte det i L? Så skulle P blive: (-0,5 ; 3,5 ; 1,5). Er det rigtigt?

Og er der en måde hvorpå jeg kan tjekke det?

Forresten mange tusind tak for hjælpen, håber jeg har forstået det rigtigt nu.

#6

Ja, koordinaterne for P findes så ved at indsætte den fundne parameterværdi t i liniens parameterfremstilling. Når vektorerne PQ og n er parallelle, findes der et tal s, således at PQ = sn , dvs forholdet mellem koordinaterne i PQ og de tlsvarende koordinater i n er en konstant s .

Nu bliver jeg i tvivl om jeg har gjort det rigtigt. jeg har fundet t ved at sige PQ * n = 0, men jeg skulle vel have sagt PQ = s*n altså:

(-3-t ; t ; -t) = s*(2 ;-1 ; 1) så forstår jeg bare ikke hvordan jeg finder t, fordi så har jeg to ubekendte. 

Bliver virkelig forvirret. Er det første jeg regnede ud rigtigt, altså hvor jeg har sat de to vektorers produkt til at være lig med 0. 

#8

Ja, vektorerne PQ og n skal jo være parallelle, ikke ortogonale, så din fundne t-værdi kan ikke benyttes.

I ligningen

(-3-t ; t ; -t) = s*(2 ;-1 ; 1)

har du 3 ligninger med de to ubekendte s og t. De to sidste giver begge, at s = -t . Indsæt dette i den første ligning

-3 -t = 2s

til at få en ligning i t alene, der kan løses.

Det er utroligt så enkelt ting kan synes, når andre viser det.

Fik t = 3 P = (4; -1 ; 6)

Så nu tror jeg endelig fik den ind. Kan jeg eftervise det på en nem måde. Det går min lærer som regel op i.

Mange tak igen for hjælpen

#10

Det her er vist den nemme måde. Alternativt kan man sige, at vektorerne PQ og n er parallelle, hvis vektorproduktet PQ×n er lig med nulvektoren 0 , og man kan så løse ligningen

PQ×n = 0

som en ligning i t alene.

Kan godt se, at det er en mere advanceret metode. Men jeg synes, at den anden er mere forståelig. Resultatet bliver dog det samme, når jeg regner det ud. Så det jeg har fået må vel være det rigtige. Igen tak for hjælpen.