Side 3 - Funktionsundersøgelse af polynomiumsbrøk

Blot for at opsummere --

Hvis det drejer sig om funktionen

f(x) = x² / (x²-1) , er funktionen defineret for alle x, undtagen x=-1 og x=1, dvs Dm(f) = R\{-1,1}

Den afledede er

f'(x) = -2x / (x²-1)² ,

og vi finder f'(x) = 0 ⇒ x = 0. Da (x²-1)² > 0 for all x i Dm(f) , ser vi, at fortegnet for f'(x) følger fortegnet for -x .

Vi har nu følgende fortegnsoversigt for f'(x):

]-∞;-1[ :   f'(x) > 0 ⇒ f er monotont voksende
]-1;0[ :     f'(x) > 0 ⇒ f er monotont voksende
0 :           f'(x) = 0 ⇒ f har lokalt ekstremum
]0;1[ :      f'(x) < 0 ⇒ f er monotont aftagende
]1;+∞[ :   f'(x) < 0 ⇒ f er monotont aftagende

Funktionen har linien y=1 som vandret asymptote og linierne x=-1 og x=1 som lodrette asymptoter.

Værdimængden er Vm(f) = ]-∞;0] ∪]1;∞[