Differentialligninger

Det spm. har du allerede kørende i denne tråd https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1015513 . Fortsæt hellere diskussionen i den oprindelige tråd.

h(x) og g(y) er begge kontinuerte funktioner, de har derfor en stamfunktion. 

lad os seperere variablerne.

f(x) er en løsning til differentialligning, lad os substituere den med y.

1/g(y) for g(y)≠0 har en stamfunktion G(y), og h(x) har stamfunktion H(x)+c

du indser at venstre siden kan omskrives mht. reglen for differentiation af sammensatte funktioner.

Du har dermed bevist sætningen for seperation af variabler. 

bevis så selv ved brug af det, løsningen til den lineær homogene differentialligning 

Vis så derefter at løsningen til den heterogene differentialligning er summen af løsningen til den homogene og en partikulær løsning. 

p(x) er en partikulær løsning, f(x) er løsningen til den homoegene, teorien må så være at l(x) = f(x)+p(x) er en løsning til den heterogene.

@NejTilSvampe

Jeg forstår 100 % den første differentialligning nu. Tak for det. Jeg kan dog ikke rigtig forstå den anden (lineær homogene differentialligning). Er det en du gider at forklare? 

  en lineær differentialligning har den generelle form.

En homogen lineær differentialligning, er bare en lineær differentialligning hvor g(x) = 0.

og den kan så løses vha. seperation af de variable.

Det er ved separation af de variable af den homogene differentialligning jeg står af. Jeg kan ikke selv finde ud af at løse den. Kan du hjælpe?

Blot for en ordens skyld hedder det separation af de variable, jvf. at separere noget. 

Den inhomogene differentialligning

dy/dx +h(x)·y = g(x)

løses måske simplest ved at bemærke, at hvis H(x) er en stamfunktion til h(x), har vi

(e^H(x)·y)' = H'(x)·e^H(x)·y + e^H(x)·(dy/dx) = e^H(X)·((dy/dx) + h(x)·y) = e^H(x)·g(x) , hvorfor

e^H(x)·y = ∫ e^H(x)·g(x) dx + c , og dermed

y = e^-H(x)·∫e^H(x)·g(x) dx + c·e^-H(x) ,

hvor c er en konstant.

Vi fandt ud af i #2 at ,

Brug den sætning, bare hvor g(y) = y

 #6 - hvad er din tanke gang her? det virker ikke særlig intuitvit bare at differentiere e^H(x)·y. Kan godt se hvor du vil hen, men der mangler ligesom lidt en forklaring bag hvorfor du gør det.. personligt bryder jeg mig ikke om "gæt" eller "få en god ide" metoderne.

'For mig', giver det mere mening hvis du havde gjort det baglæns.

Men der er stadig lige det med at forklare 'hvorfor' man ganger med e^H(x).

#8

Jeg kan godt forstå din indvending. Jeg skal forsøge at motivere det lidt.

Venstre side af differentialligningen er y' + h(x)·y . Dette vil vi gerne kunne skrive på formen q(x)·(p(x)·y)' , hvor vi søger funktionerne p(x) og q(x) , for hvis det er muligt, kan vi isolere (p(x)·y)' og dermed integrere højresiden bestående af kendte funktioner, og endelig bestemme y . Vi har nu

q(x)·(p(x)·y)' = q(x)·p'(x)·y + q(x)·p(x)·y' .

Sammenholdes dette med h(x)·y + y' , ser vi, at dette er muligt, såfremt vi sætter

q(x)·p'(x) = h(x) , og

q(x)·p(x) = 1 .

Antager vi, at p(x) , q(x) ≠ 0 , fås

q(x) = 1/p(x) , og

p'(x)/p(x) = h(x) , hvoraf

p(x) = e^H(x) , med H(x) = ∫ h(x) dx . Vi kan derfor skrive

y' + h(x)·y = q(x)·(p(x)·y)' = e^-H(x)·(e^H(x)·y)' = g(x) , hvorfor

(e^H(x)·y)' = e^H(x)·g(x) , og dermed

e^H(x)·y = ∫ e^H(x)·g(x) dx + c

 udmærket det giver god mening. Og jeg beklager hvis jeg har holdt dig vågen :p god nat og tak for forklaringen.