Matematik

Komplekse tal

30. maj 2011 af turk89 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Nogen, der har en idé om, hvordan følgende komplekse tal kan laves om til sumformen:

(2<-45)/(1-i) · 2 · e^(π/(3-i))

NB: Tegnet < står for vinkel.

Tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. maj 2011 af peter lind

Hvad mener du med (2<-45) ?

e^π/3-i) = e^{π(3+i)/[3-i)(3+i)]} = e^{π(3+i)/(9+1)}.

brug ellers e^iu = cos(u)+isin(u)

Svar #2
30. maj 2011 af turk89 (Slettet)

r<θ

... læses r (afstand) og vinkel teta.

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. maj 2011 af peter lind

Det er jo ikke et tal og sammenhængen kræver et tal.

Svar #4
30. maj 2011 af turk89 (Slettet)

Vi har lært, at komplekse tal kan skrives som følgende:

(a₁,b₂) = a₁ + i · a₂ = r < θ = r (cos (θ) + i · sin(θ)) = r · cis(θ) = r · e^{i · θ} , hvor < står for vinkel.

Brugbart svar (0)

Svar #5
30. maj 2011 af peter lind

r<θ er en relation ikke et tal og kan altså ikke være et tal. Der er noget du har misforstået.

Svar #6
30. maj 2011 af turk89 (Slettet)

Jeg har vedhæftet selve opgaven. Prøv selv at se.

Vedhæftet fil:Doc1.doc

Brugbart svar (0)

Svar #7
30. maj 2011 af Andersen11 (Slettet)

Dit tal (2<-45) bør så skrives 2·e^-iπ/4 .

Svar #8
30. maj 2011 af turk89 (Slettet)

Du har ret, men opgaven er formuleret sådan som jeg har sat det op.

Brugbart svar (0)

Svar #9
30. maj 2011 af Andersen11 (Slettet)

Og nu har du så fået omskrevet den ene af faktorerne.

Svar #10
30. maj 2011 af turk89 (Slettet)

Jeg får:

(2 · e^{-π/4 · i})/(1 - i) · 2 · e^π/10^{· (3 - i)}

Hvordan ser det ud? Skal det hele ikke reduceres til: a₁ + i · a₂?

Brugbart svar (0)

Svar #11
30. maj 2011 af Andersen11 (Slettet)

Skriv de andre faktorer på formen r·e^iθ og gang dem så sammen. Eller skriv hver faktor på formen a₁ + i · a₂ , hvis du foretrækker det.

Svar #12
30. maj 2011 af turk89 (Slettet)

#11

Er det ikke kun a₁ + i · a₂ der betegner sumform?

Har fundet ud af, at nævneren kan skrives om til 2 < -45, dvs. nævner og tæller går ud med hinanden, og jeg har kun 2 · e^{π/10 · (3 - i)} tilbage. Hvordan kan jeg bruge eulers formel her - til at komme til produktformlen?

Brugbart svar (0)

Svar #13
30. maj 2011 af Andersen11 (Slettet)

#12

Der er tale om at gange de fire komplekse tal sammen:

(2<-45) = 2·e^-iπ/4 ,

1/(1-i) = (1+i)/2 = ((√2)/2)·e^iπ/4 ,

2 = 2·eⁱ⁰ ,

e^(π/(3-i)) = e^3π/10·e^iπ/10.

Produktet er derfor

2(√2)·e^3π/10·e^iπ/10

Svar #14
30. maj 2011 af turk89 (Slettet)

#12

Skal det ikke angives i sumformen til sidst, altså som a₁ + i · a₂?

Brugbart svar (0)

Svar #15
30. maj 2011 af Andersen11 (Slettet)

#14

1/(1-i) = (1+i) / ((1-i)(1+i)) = (1+i) / (1+1) = (1+i)/2 = ((√2)/2) · (((√2)/2) + i((√2)/2)) = ((√2)/2)·e^iπ/4

Brugbart svar (0)

Svar #16
30. maj 2011 af Andersen11 (Slettet)

#14

Jo, man kan da skrive det på den form:

2(√2)·e^3π/10·e^iπ/10 = 2(√2)·e^3π/10·(cos(π/10) + i·sin(π/10))

Svar #17
30. maj 2011 af turk89 (Slettet)

#16

Det kaldes produktformen (har vi fået at vide). :-)

Jeg søger stadigvæk facit i form af: a₁ + i · a₂.

Brugbart svar (0)

Svar #18
30. maj 2011 af Andersen11 (Slettet)

#17

Og den form for resultatet aflæses jo direkte af resultatet i #16:

a₁ = 2(√2)·e^3π/10·cos(π/10) ,

a₂ = 2(√2)·e^3π/10·sin(π/10)

Svar #19
30. maj 2011 af turk89 (Slettet)

#18

Ja, det trick havde jeg fuldstændig glemt. Tak igen.

Skriv et svar til: Komplekse tal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.