Kontinuitet

det lyder rigtigt ja :)

Det gælder ikke generelt. Vi kan udmærket have en funktion, f,  som har to vidt forskellige grænseværdier for x gående mod samme tal, idet der skelnes imellem, om x kommer fra venstre eller x kommer fra højre.

Tager vi  f(x)  =  1 / x  og lader x → 0 fra højre er grænseværdien ∝  men  - ∝  hvis x → 0 fra venstre. f er ikke kontinuert for  x  →  0.

 #2 

Jeg er måske ikke helt sikker på det med grænseværdi så. 

f(x) = ax+b

Hvordan ville jeg redegøre for at den er kontinuert?

For at vise at f(x)=ax+b er kontinuert, skal du vise at den er kontinuert i alle punkter i dens definitionsmængde, hvilket som udgangspunkt er alle reelle tal. Du skal derfor vise, at der for et vilkårligt punkt x₀ og vilkårligt ε>0, findes et δ, sådan at

0 < |x-x₀| < δ ⇒ |f(x)-f(x₀)| < ε

Mere intuitivt skal du forstå det sådan, at en af dine kammerater prøver at modbevise at f(x)=a*x+b er kontinuert, så han kommer med et meget, meget lille ε, og et helt tilfældigt x₀. Du skal så give en regel for hvordan man vælger δ, så det forrige udtryk er sandt. Hvis vi nu siger at din kammerat giver dig forskriften f(x)=a*x+b, og et ε>0, samt et x₀. Så vælger du bare

δ = ε / |a|

Med dette δ gælder at

|f(x) - f(x₀)| = |a*x+b - (a*x₀+b)|

= |a*(x-x₀)|

= |a|*|x-x₀|

< |a|*(ε / |a|)

= ε

Du har dermed vist at du for en vilkårlig funktion af formen f(x)=a*x+b og et vilkårligt x₀ og ε, kan vælge δ, sådan at betingelsen for kontinuitet er opfyldt. Da du ikke har antaget noget om x₀, gælder det for alle reelle tal x₀ og funktionen f(x)=a*x+b er derfor kontinuert.