differentialkvotient for sin(x)

du har misforstået noget . Når f(x) > a for x ->0 betyder det ikke at du skal beregne f(0). Det kan ikke altid lade sig gøre som eksemplet ovenover viser. Selvom f(x) eksisterede behøver det faktisk heller ikke at være grænseværdien.  Du skal bare kunne gøre |x| så lille som du ønsker blot altså ikke 0.

og ja: Det er korrekt at sin(x)/x -> 1 for x ->0

 Ja, sin(deltax) går mod nul, det samme gør nævneren, og det er også rigtigt man ikke kan dividere med nul. Pointen i differential regning er at komme uendeligt tæt på.

Jo mindre nævneren bliver, jo større bliver brøken. Og fordi de aldrig rammer nul er den gående imod 1.

#2 jeg vil snarere sige at jo mindre du gør nævneren jo mindre gør du også tælleren. Dette vil ske på en sådan måde at sin(x)/x < 1 men kan komme vilkårlig tæt på 1.

#3  det var en dum måde jeg skrev det på ja.

 Ja dumt af mig, jeg er lidt træt. To uendeligt små størrelser divideret med hinanden giver selvf. 1. 

#5

Det kan man ikke umiddelbart konkludere.

Differenskvotienten (f(x₀+h) - f(x₀)) / h bliver jo i grænsen h gående mod 0 et sådant forhold mellem uendeligt små størrelser. Det afhænger af funktionen, om grænseværdien eksisterer, og hvilken værdi grænseværdien har.

#4 Jeg synes nu ikke den er helt dum.

#5 Det er ikke spor selvfølgeligt. Hvis tælleren går mod 0  og nævneren mod 0 for x -> 0 kan du få alt muligt ud af det. I det aktuelle tilfælde gælder det.

 #7 og hvis tælleren rammer nul får man n ud af det.

Her er lidt interessant legetøj -

Prøv at trykke på "decrease x" og se, hvordan x og sin x nærmer sig hinanden - dvs. sinx/x -> 1 for x -> 0

http://www.ies.co.jp/math/java/calc/LimSinX/LimSinX.html

 Men kommer grænseværdien ikke også af noget om, hvor hurtigt sin(deltax) går mod nul som deltax går mod 0? Går de lige hurtigt, og er det i givet fald derfor, at brøken går mod 1?

#10

Jo, det gælder jo for sin(x) / x . Men din "selvfølgelige" bemærkning i #5 var vist generelt ment, og det er ikke korrekt.

Sinx og x er matematisk tæt forbundet, så de kan ikke gå imod 0 i "forskelligt" tempo