omskrivning af phytagoras

er noget, du formentlig har fra en specifik opgave,
som ikke er af generel betydning

hm, det er noget vi har gennemgået i klassen, altså at der findes uendeligt mange serier af retvinklede trekanter hvor a,b og c er hele tal,

så har vi nogle eksempler :

3,4,5

og 5,12 ,13

og så har vi at :

a^2 + b^2 = (b+1)^2                     da c= b+1

og det giver så:

b= (a^2 - 1 ) / 2

! :

??:)

a² + b²  =  c²                    ... hvor c er 1 længere/større end b. Altså, c = b + 1

a² + b² = (b+1)²               ... udvid parentesen på højre side af lighedstegnet,

a² + b² = b² + 2b + 1       ... træk b² på begge sider af lighedstegnet.

a² = 2b + 1                      ... træk 1 på begge sider af lighedstegnet.

a² - 1 = 2b                       ... divider med 2 på begge sider af lighedstenet.

(a²-1)/2 = b

#4
jah, det er nemlig sådan jeg gør, men spørgsmålet er, hvad ska man bruge det til og skal man fortælle om det her til eksamen, hvis man trækker om phytagoras??:) og hvis så, hvordan kommer man overhovedet ind på det?

Som du selv nævner kan du bruge det til at vise at der findes uendeligt mange forskellige, retvinklede trekanter, hvor alle tre kanters længde er heltal. En måde at se det på er at

b = (a²-1)/2

er et heltal når a er et ulige tal (kan du se hvorfor?). Dvs. for hvert ulige tal større end 1, eksisterer der en retvinklet trekant, hvor alle tre kanters længde er et heltal. Da der er uendeligt mange ulige heltal større end 1, må der være uendeligt mange trekanter, hvor kanternes længde er heltal.

#5 ..

Eks. Hvis c er 1cm større en b, også kan matematisk udtrykkes;  c = b + 1 ..   Hvis du bliver bedt om at finde længden for b, der skal være 1 cm mindre end c - skal du bruge denne formel, b = (a²-1)/2. Man starter med at opfinde hvilke værdi for a skulle være, vil du samtidig kende værdien for b. Hvis a = 5 cm.  

Så er b = (5² - 1) /2   =  12 cm.    Nu kan vi prøve at kontrollere om det virkelig passer, at b er 1cm mindre end c-værdien. a² + b² = c²    ⇔   c = √(a²+b²)     ... tal indsat   c = √(5²+12²) ⇒ 13 cm.

Og .. du ved, at  b = 12 cm  ..  sætter du b-værdien ind det matematisk udtryk;    c = b + 1 = 13 cm !

Prøv om du kan løse denne opgave; a = 5, b = ? og c = ?  .. Du skal løse, hvad b og c giver, når du ved, at b + c = 17.

#7

Hvis den sidste sætning ikke giver mening - har jeg formuleret det på en anden måde:  I en retvinklet trekant er den ene katete 5 cm lang, og summen af de 2 sider er 17 cm. Beregn længden af hver af de to andre sider.

# 6

tusind tak for svar! :) det var en stor hjælp! men når man vil bevise det, så skal man udskifte 1-tallet med n, altså N for et helt tal, ikk?:) altså:

a^2 + b^2  = (b+n)^2

a^2+b^2 = b^2 + n^2 + 2bn

a^2 = n^2 + 2bn

b = (a^2 -n^2) / 2n

og så har jeg i mine noter skrevet:

a > n, da sidelængden ikke kan være negativ.

hvis a er ulig, så er n ulig og b er et naturligt tal.

hvis a er lige skal n være lige

kan dette passe?:) og kan du måske forklare det lidt mere omkring dette, så jeg har helt styr på det! :)?:)

# 7

tusind tak for svar ! :) det gir fuldstændig mening! tak skal du have:)

 #9: Hmm jeg bliver en smule i tvivl. Hvis alt hvad du ønsker at bevise, er at der findes uendeligt mange forskellige, retvinklede trekanter hvor alle sidelængderne er heltallige (lad os kalde dem heltalstrekanter), er jeg rimelig sikker på at mit bevis i #6 er nok. Som jeg forstår dit bevis i #9, viser du, at der for en vilkårlig heltalsværdi af a>1, kan vælges et n sådan at b bliver et heltal, og dermed bliver alle sidernes længder heltallige. Du finder derfor heltalstrekanter for alle heltalsværdier af a>1, mens jeg kun finder det for ulige, heltalsværdier af a>1. På en måde finder du altså heltalstrekanter for "flere" værdier af a, end jeg gør, men da der allerede er uendeligt mange ulige, heltal, er det nok at lave mit bevis (tror jeg).

Hvis det er din lærer der har gennemgået beviset i #9, synes jeg du skal bruge det. Den måde du vælger n, alt efter om a er lige eller ulige, er vist helt rigtig. Det kan også være at din lærer ville bevise, at der for alle heltalsværdier af a>1, findes en heltalstrekant. Hvis det er det der skal bevises, er det jeg skrev i #6, selvfølgelig ikke nok, og så skal du helt sikkert bruge dit bevis i #9

Håber det hjalp :)

hmm, jarh ka godt se det er lidt forvirrende nu! men altås beviserne går jo ud på det samme rigth? forskellen er bare at beviset med n er mere generelt, eller det er i hvert fald hvad jeg tror? men hm 1 er jo også et helttal ikk også? hvorfor er der så den store forskel mellem beviserne?? :S

hm jeg ved nemli ikke helt, hva det er der ska bevises, for vi har nemli gennemgået begge i klassen! kan bare ikke huske hvorfor det var at vi også gennemgik beviset med n, men tror det var fordi det var en anden måde at skrive det på! ?

og jo tak, det hjalp rigtig meget:) er dog stadig lidt forvirret! :S )

Selv om du er lidt forvirret, virker det til at du har forstået det. Det er helt rigtigt set, at dit bevis er mere generelt end mit bevis. Som du selv nævner er mit bevis bare specialtilfældet hvor n er lig 1. Bemærk også hvordan du i dit bevis konkluderer, at hvis a er lige, skal n også være lige. Det er netop derfor, at mit bevis ikke gælder når a er lige. Jeg har allerede valgt n=1 som er ulige.

Hvis du er meget i tvivl om hvilket bevis du vil gennemgå, kan du evt. skrive og spørge din lærer. Hvis du ikke når at få svar, eller hvis du ikke får skrevet, tror jeg du skal bruge dit bevis (#9).

......  b = (a2-1)/2 er et heltal når a er et ulige tal (kan du se hvorfor?).....'

naarhh ikk rigtig! har ogs selv skrevet det i mine noter, men ka ikke se hvorfor a SKAL være ulig?:S

men jeg tænkte på at først præsentere dit bevis og sige at denne gælder for a = ulig, men hvis vi ska ha et mere generelt bevis hvor a også kan være lige, så gælder dette bevis: og så ka jeg så vise det andet bevis jeg kom med!

#7

Hvis den sidste sætning ikke giver mening - har jeg formuleret det på en anden måde:  I en retvinklet trekant er den ene katete 5 cm lang, og summen af de 2 sider er 17 cm. Beregn længden af hver af de to andre sider.

altså, så kan jeg finde b : (5^2 -1 ) / 2 = 12 cm

og c= 17-12 = 5 cm,

men det kan jo ikke passe, for 12+1 er jo ikke lig med 17. altså b-værdien skal jo være 1 mindre end 17! :S

#14.

Du skal ikke løse sådan, hvor c er større end b - da det er en anden opgave :o) ,, "I en retvinklet trekant er den ene katete 5 cm lang, og summen af de 2 sider er 17 cm. Beregn længden af hver af de to andre sider."

Du ved, at       a = 5 cm  ...     b = ? ...     c = ?  ...    b + c = 17 cm

PS: Meningen om at løse denne opgave er for at booste din hjerne op... :P

ahh, så kan jeg ikke helt så hvordan det skal løses! ? :)

og tihiih det er vist det sidste min hjerne har brug for ;);)

Hmm .. Start evt med:

a² + b² = c²               ... sæt de kendte værdier ind.

5² + b² = c²               ...  da    b + c = 17   ... skal c isoleres;  c = 17 - b

5² + b² = (17 - b)²     ... nu kan du starte med at finde værdien af b ;)

se
ga.randers-hf-vuc.dk/matlex/algebra.html#pythagoras

#17
 

Hmm .. Start evt med:

a² + b² = c²               ... sæt de kendte værdier ind.

5² + b² = c²               ...  da    b + c = 17   ... skal c isoleres;  c = 17 - b

5² + b² = (17 - b)²     ... nu kan du starte med at finde værdien af b ;)

ahhh, smart smart! :) tak for hjælpen! :)

mathon: hmm sagde mig ikke så meget hjemmesiden! men det er helt iorden har forstået det tror jeg! lidt i tvivl om, hvor a SKL være ulig , men ellers er det fint:)

vh