integrere

#0: Substitution med u = x^2+2

Det er muligt, at du får mere ud af blot at lade lommeregneren udregne denne og da forsøge dig med et par lidt lettere eksempler. Denne er mildest talt langtrukken.

(a + b)⁸   =   b⁸ + 8ab⁷ + 28a²b⁶ + 56a³b⁵ + 70a⁴b⁴ + 56a⁵b³ +28a⁶b² + 8a⁷b + a⁸

Sæt     a = x²        b  = 2

Så fås:    2⁸ + 8x²2⁷ + 28x⁴2⁶ + 56x⁶2⁵ + 70x⁸2⁴ + 56x¹⁰2³ + 28x¹²2² + 8x¹⁴2 + x¹⁶   =

256 + 1024x² + 1792x⁴ + 1792x⁶ + 1120x⁸ + 448x¹⁰ + 112x¹² + 16x¹⁴ + x¹⁶     

som let kan integreres, led for led. Regn dog lige ovenstående efter for en sikkerheds skyld. Der kan let indsnige sig en fejl.

       kontroller efterfølgende
       v. hj. a.

                             Define f(c,n) = ∫(c*x^n,x)

eksempelvis

                             f(1120,8) = (1120/9)x^9

Nu fristes man jo til at spørge trådstarter #0 , om der er tale om dette integral

(1)    ∫ (x² + 2)⁸ dx ,

eller om dette integral

(2)    ∫ (x² + 2)⁸ · x dx .

Substitutionsforslaget i #1 er kun praktisk anvendeligt på integralet (2), hvilket så til gengæld formidler en simpel løsning til integralet. Derimod kan integralet (1) vist kun i praksis løses som anført af SECC i #3 .

 #5 

der er tale om denne ∫ (x2 + 2)^8 dx med øvre grænse =1 og nedre grænse =0

Og tak for hjælpen alle sammen :)

Som skrevet er det et rigtigt øv-integrale. Ihvertfald hvis man synes, at det er kedeligt at opskrive Pascals trekant (se række 9), for ellers er det da ikke ligetil at se sig ud af, at den faktoriserede form kan skrives anerledes. Selvfølgelig kan man gange ud og reducere, men... Jeg håber, at I har lært om Pascals trekant ihvertfald. :-)

₀∫¹ (256 + 1024x² + 1792x⁴ + 1792x⁶ + 1120x⁸ + 448x¹⁰ + 112x¹² + 16x¹⁴ + x¹⁶) dx    = 

[ 256x + ¹⁰²⁴/₃·x³ + ¹⁷⁹²/₅·x⁵ + ¹⁷⁹²/₇·x⁷ + ¹¹²⁰/₉·x⁹ + ⁴⁴⁸/₁₁·x¹¹ + ¹¹²/₁₃·x¹³ + ¹⁶/₁₅·x¹⁵ + ¹/₁₇·x¹⁷]₀¹

Fællesnævneren  er    5·7·9·11·13·17     så resultatet bliver helt præcis.

Ja, TheLeresa, nu har du fået integreret funktionen i hånden, som du spurgte om.

Maskinudregnet, er     ₀∫¹ (x² + 2)⁸ dx   =  1386,645925   (6 dec.)

 TUSIND TAk for hjælpen, synes virkelig det er svært at løse den i hånden som jeg nu skal i denne opgave .

Man kan med fordel benytte binomialformlen:

(x² + 2)⁸ = ∑_j=0⁸ (⁸_j) x^2j · 2^8-j ,

og benytter man, at  ₀∫¹ x^2j dx = 1 / (2j+1) , får man

₀∫¹ (x² + 2)⁸ dx = ∑_j=0⁸ (⁸_j) 2^8-j / (2j+1)      (der let programmeres i Excel)

                           = (60128·11·13·17 + 7056·5·9·17 + 287·3·11·13) / (5·9·11·13·17)

                           = 151.692.131 / 109.395

                           = 1386,6459253 (7 dec.)

helt i overensstemmelse med resultatet i #9 .