Matematik
Hjælp til differentialregning
Hej! Jeg skal til syge-eksamen i Matematik, B. Jeg har et eksamens spørgesmål som lyder:
Der ønskes en udledning af differentialkvotienterne for funktionerne
f(x) = ax+b og f(x) = samt funktionen c?f, hvor c er en konstant og f er en differentiabel funktion
Nogen der kan hjælpe med disse tre funktioner. Da jeg ikke aner hvordan der skal gøres. Skal jeg bruge tre trins reglen?
Hjælp vil være rigtig lækkert! Ha' en god sommer
Hilsen Chris
Svar #1
11. august 2011 af Studieguruen (Slettet)
#0
Ja, gør brug af tretrinsreglen
1) Funktionstilvækst
2) Differenskvotient
3) Differentialkvotient
Svar #2
11. august 2011 af Studieguruen (Slettet)
tretrinsreglen for
f(x) = ax + b
1) Funktionstilvækst
Δf(x) = f(x+Δx) - f(x)
= a(x+Δx) + b - (ax + b)
= ax + aΔx + b -ax - b
= aΔx
2) Differenskvotient
Δf(x)/Δx = (aΔx)/Δx = a
3) Differentialkvotient
f '(x) = a , for Δx → 0
Svar #3
11. august 2011 af Walras
f(x)=ax+b
Find funktionstilvæksten (1):
Δf(h)=f(x0+h)-f(x0)
Δf(h)=a(x0+h)+b-(ax0+b)=ax0+ah+b-ax0-b=ah
Opstil differenskvotienten (2):
Δf(h)/h=[f(x0+h)-f(x0)]/h
Δf(h)/h=ah/h=a
Undersøg, om der findes en grænseværdi (3):
[f(x0+h)-f(x0)]/h --> f'(x0) for h --> 0
Δf(h)/h=a --> a for h --> 0,
så du har, at
f'(x)=a,
som er korrekt.
Prøv nu selv den anden. Alt i kursiv i dette indlæg er generelt og kan overføres på andre funktioner.
Svar #4
11. august 2011 af aageseverinsen (Slettet)
okay tusind tak!! Rigtig god hjælp! men i funktion nummer, funktionen c ? f, hvor c er en konstant og f er en differentiabel funktion. den har jeg lidt svært ved
hilsen Chris
Svar #5
11. august 2011 af Walras
#4 Prøv at udregne som #3. Jeg har skrevet de generelle træk op, så du skal sådan set bare indsætte din egen funktion. Du kan smugkigge herunder, hvis du er i tvivl, men sæt dig nu ind i, hvad det er, der sker!!
g(x)=cf(x)
Find funktionstilvæksten (1):
Δg(h)=c*(f(x0+h)-f(x0))
Opstil differenskvotienten (2):
Δg(h)/h=c*[f(x0+h)-f(x0)]/h
Undersøg, om der findes en grænseværdi (3):
Δg(h)/h=c*[f(x0+h)-f(x0)]/h --> c*f'(x0) for h --> 0,
så du får, at
g'(x)=c*f'(x),
hvilket jo også er rigtigt nok.
Svar #6
11. august 2011 af Studieguruen (Slettet)
#4
Dette gøres på nøjagtig samme måde som det foregående tilfælde vha. tretrinsreglen.
Svar #7
12. august 2011 af aageseverinsen (Slettet)
Hej igen og tak for hjælpen! men et dumt spørgesmål.. Hvad er "h"?
Svar #8
12. august 2011 af Walras
Hvis du tegner scenariet, er det nok nemmere at forestille dig det. Du skal udvælge to punkter (x0,f(x0)) og (x0+h,f(x0+h)) og da tegne en sekant (ret linie) imellem disse. Når du da lader h gå imod 0, undersøger du da, om det valgte punkt (x0+h,f(x0+h)) nærmer sig (x0,f(x0)). Hvis det gør det, har differenskvotienten en grænseværdi og det er netop den grænseværdi, der kaldes differentialkvotienten for funktionen.
Der er helt sikkert tegninger af det i din bog.
Svar #9
12. august 2011 af Studieguruen (Slettet)
#7
Det er forskelligt om man vælger notationen Δx eller h. Begge notationer har samme betydning.
Skriv et svar til: Hjælp til differentialregning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.