Differentialforklaring

Fortæl lidt om hvad den siger noget om, altså hvad f'(x) siger om f(x), du kan eventuelt også inddrage f''(x), og fortælle om den. den dobbeltafleddede har betydning i Økonomi og Fysik f.eks.

Giv et eksempel på hvordan man kan bruge det, f.eks. optimering.

Bortset fra det har du vidst til væsentligt mere end 5 minutter bare i det du selv har skrevet.

Spørgsmål 1 er: Redegør for begrebet differentialekvotient samt for tretrinsregl.
Bagefter skal jeg komme ind på bestemmelse af max/minima ved hjælp af differentialregning.

Dette har jeg skrevet ind til videre:
 
Spørgsmål 7.
Differentialregning.

Redegørelse for begrebet differatialkvotient samt tretrinsreglen:
Tangentens hældningskoefficient fortæller om grafens retning i punktet (x0,y0) Hældningskoefficienten for tangenten i punktet (x0,y0), kaldes for differentialkvotienten for f i x0 og den betegnes f’(x).
Obs. Husk at tangensen er den rette linje der bedst følger grafen gennem punktet.

Definition. Vi kalder altså en funktion for differantiabel hvis grafen for funktionen har en tangent i alle punkter. Mange grafer for funktioner har tangenter i alle punkter, men det gælder ikke alle. Hvis grafen har et knæk – vil den til højre for knækket følge en linje og til venstre en anden. Hvis grafen ikke er sammenhængende, vil den ikke have en fælles tangent hvor den ikke hænger sammen.
Eksempel: Hvis vi ønsker at finde en tangenthældning på en graf i punktet (2,4) :

Illustration af graf

Da der skal to punkter til for at beregne hældningskoefficienten for en linje, vil vi foruden punktet (2,4) på grafen anvende et hjælpepunkt. Dette hjælpepunkt ligger stykket h fra tallet 2 på x-aksen. Dette punkt har derfor værdien 2+h. Således angiver h tilvæksten for x-værdien (og kan også betegnes ?x).
Hjælpepunktets y-værdi findes ved at benytte regneforskriften for f: y=f(2+h)=(2+h)2 =4+h2+4h. ?
Fortsat:

Illustration:

Linjen gennem de to punkter kaldes en sekant. Når de to punkter ligger meget tæt på hinanden vil sekanten og tangenten også ligge meget tæt på hinanden.
a= ?f/?x = ?y/h = (f(2+h)-f(2))/h
Vi kan udregne tælleren ved at bruge regneforskriften og derefter reducere: a= (4+h^2+4h-4)/h = (h^2+4h)/h = h+4
Hvis vi lader vores hjælpepunkt nærme sig punktet (2,4) på grafen vil tallet h blive forsvindende lille, samtidigt med at sekanten vil dreje sig ind mod tangenten. Dvs. Jo mindre tallet h er, jo tættere vil tallet 4+h være på tallet 4. Tangenthældningen vil altså være: a= 0 +4 = 4
Så vi skriver f(2)=4 og læser det som differentialkvotienten for f i 2 er 4.
Så grafen går gennem (2,4) og grafen har samme hældning som en linje med hældning på 4.
 

Differentialkvotienten er et mål for en væksthastighed af et sæt variable størrelser fastsat ved en indbyrdes afhængighed.

Tusinde tak SECC - hvordan kan jeg beskrive det knap så kortfattet ?

Med kun 5 min. til rådighed kan der ikke redegøres for udledningen af, og en rimelig indsigt i, hvad en differentialkvotient er. Men hvis målgruppen er bekendt med det almindelige funktionsbegreb, f afbilder x i y, kan man komme ind på, afhængig af funktionen f, at y-erne vokser hurtigere, for hvert x, jo større differentialkvotienten er. Og omvendt. Altså væksthastigheden. Så må de 5 min. være gået !  Nævn eksemplerne fra det praktiske liv, beskrevet i # 1.