f(x0+h)-f(x0-h)

Er du sikker på, du har skrevet det rigtigt?   f '(x₀) = lim _{h → 0}  (Δy/h)

måske hjælper det her.

Har skrevet det fuldstændigt som det står i opgaven

Kan godt se det og ville også godt kunne finde ud af opgaven hvis det var f'(x0)=lim h->0  (f(x0+h)-f(x0))/h, men f'(x0)=lim h->0  (f(x0+h)-f(x0-h))/2h har jeg aldrig set før

#4

Hvis differenskvotienten for f(x) i x₀ eksisterer, gælder der, at

(f(x₀+h) - f(x₀))/h har en grænseværdi (nemlig f'(x₀)) for h gående mod 0, og der for også, at

(f(x0-h) - f(x0))/(-h) har en grænseværdi (nemlig f'(x₀)) for -h gående mod 0, og dermed for h gående mod 0.

Vi har derfor

(f(x₀+h) - f(x₀-h)) / (2h) = (f(x₀+h) - f(x₀) + f(x₀) - f(x₀-h)) / (2h)

                                        = (f(x₀+h) - f(x₀))/(2h) - (f(x₀-h) - f(x₀))/(2h)

                                        = (f(x₀+h) - f(x₀))/(2h) + (f(x₀-h) - f(x₀))/(-2h)

                                        → f'(x₀)/2 + f'(x₀)/2 = f'(x₀) for h → 0

Forstår det desværre stadig ikke. Hvad er det der sker i trin = (f(x0+h) - f(x0))/(2h) + (f(x0-h) - f(x0))/(-2h) og så til det sidste?

#6

I dette trin ændres leddet - (f(x₀-h) - f(x₀))/(2h) til + (f(x₀-h) - f(x₀))/(-2h) . Ved at skifte fortegn i både tæller og nævner ændres brøkens værdi jo ikke.

Leddet (f(x₀+h) - f(x₀))/(2h) er det halve af differenskvotienten for funktionen f(x) i x₀ med tilvækst h, og leddet (f(x₀-h) - f(x₀))/(-2h) er det halve af differenskvotienten for funktionen f(x) i x₀ med tilvækst -h . Begge differenskvotienter har grænseværdien (1/2)·f'(x₀) for h gående mod 0.