Differentialligning - Separation

Okay det kunne lade sig gøre, har åbenbart gentaget samme tastefejl et par gange på lommeregner ...

Men der var alligevel nogle fejl i mellemregningerne og de er nu fundet!

∫y / (y^2 + 1) dy = ½ * ln(y^2 + 1)          -  1. fejl: Der skal ikke være nogen konstant her

∫x / (x^2 + 1) dx = ½ * ln(x^2 + 1) + C

½ * ln(y^2 + 1) = ½ * ln(x^2 + 1) + C

ln(y^2 + 1) = ln(x^2 + 1) + 2C               - 2. fejl: Havde ikke ganget C med 2.

y(x) = √( [x^2 + 1] * e^2C - 1 )

½ * ln(y^2 + 1) = ½ * ln(x^2 + 1) + C ⇒ C = ln(1² + 1)/2 - ln(3² + 1)/2 = -0,8047

1 = √( [3² + 1] * e^2*-0,8047 - 1 ) = √( 10 * e^2*-0,8047 - 1 ) = 1

Og så passer det hele jo ;) Jeg er stolt af mig selv! :)

Sådan!

Du har grund til at være stolt, og du har sikkert lært en del mere.
Fint at du skriver løsningen ind, så andre også kan se på det.

Stringent set forudsætter dit implikationstegn i tredjesidste linje (der hvor du sætter tal ind) vel, at du skriver begyndelsesbetingelsen på venstre side; men dit indlæg var jo om mellemregningerne og dem kommenterer du flot.

Nu forstår jeg bedre, hvorfor det integral forekom et par timer tidligere i denne tråd https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1076134

#1

Vedrørende konstanten, så spiller det ingen rolle, om man lader C eller e^C være integrationskonstanten. man finder således

e^C = 2/10 = 1/5 ,

således at den færdige løsning bliver

y = √( (x² + 1)/5 - 1) = √( (x² - 4)/5 )

Okay, endnu et spørgsmål:

Jeg har solvet differentialligningen for y(3) = 1 og har fået løsningen:
y(x) = (1/5)*sqrt(-20+5*x^2)

Men hvordan kommer jeg fra:
√((x² + 1)/5 - 1)

til
(1/5)*√(-20+5*x²)

Hvilke 'regneregler' bliver brugt? Trin for trin please.

y = √ ( (x² + 1)* (1/5) - 1)      gang parentesen ud

y = √ ( ((1/5)*x² + (1/5) - 1)   forkort

y = √ ( ((1/5)*x² - (4/5))         sæt 1/5 udenfor for parentes

y = √ ( (x² - 4) * (1/5))           vi ganger med 1/5 udenfor kvadratroden og med 5² inde i kvadratroden.

                                             De går ud med hinanden

y = (1/5) * √ ( (x² - 4) * (1/5) * 5²) forkort til det endelige resultat

y = (1/5) √ ( (x² - 4) * 5)

y = (1/5) √ ( (5x² - 20)

#4

Gang under kvadratroden med 5/5 og flyt 25.-delene uden for kvadratroden.

hej

Jeg har fulgt med i tråden her da jeg sidder med samme opgave. Jeg kan godt komme vidre udfra jeres startpunkt men da jeg jo gerne vil forstå og løse hele opgave selv så sidder jeg fast og kunne godt bruge lidt hjælp.

hvordan kommer i fra

(1 + x^2)yy' = x(1 + y2)
 

til

∫y / (y^2 + 1) dy = ½ * ln(y^2 + 1)          -  1. fejl: Der skal ikke være nogen konstant her (HVORFOR!!)

∫x / (x^2 + 1) dx = ½ * ln(x^2 + 1) + C

Meget gerne tegende og fortællende i detaljer så jeg forstår

vh Lotte

#7

Vi har at:

(1 + x²)yy' = x(1 + y²) som skal separeres, altså x'erne for sig og y'erne for sig.

Jeg starter med at lave y' om til dy/dx.
(1 + x²)y dy/dx = x(1 + y²)

Ganger over med dx.
(1 + x²)y dy = x(1 + y²) dx

Dividerer med (1 + x²) og (1 + y²) og får:
(y / (1 + y²))dy = (x / (1 + x²))dx

Så nu er differentialligningen separeret.
Da y-delen og x-delen er har samme form, kan vi nøjes med at kigge på y-delen og x-delen må være nøjagtig det samme blot med x-værdier.

Vi skal nu substituere.
subst.:
u = (y² + 1)
Derfor;
du = 2y
dy = (1/2y) du

Vi integrerer y-delen med vores substitution:
∫(y / (1 + y²))dy = ∫(y/u) * 1/(2y) du = ∫y / 2yu du = (1/2) ∫ 1/u du

Integralet til 1/u du er lig med ln(u), så vi har at:
(1/2) ∫ 1/u du = (1/2) * ln(u)

Jeg substituerer tilbage med u = (y² + 1)
∫(y / (1 + y²))dy = (1/2) * ln(y² + 1)                - Fortsættelse i #1

mange tak for det meget forklarende svar, jeg forstår meget bedre nu men jeg stadig ikke helt klar på hvorfor du ikke +C og hvordan du kommer frem til den anden del som her har en konstant C??? hvad misser jeg?

∫x / (x^2 + 1) dx = ½ * ln(x^2 + 1) + C

dette er jeg også lidt usikker på?

Vi skal nu substituere.
subst.:
u = (y2 + 1)
Derfor;
du = 2y
dy = (1/2y) du

Kan du forklare hvordan du finder flg? (hvilke formel/regneregl andvendes?)

Der er tale om integration ved substitution. Se Eksempel 1 på side 2 i denne pdf:

http://people.math.aau.dk/~cthom/kurser/basmat/doku/nwp-2.pdf

#9

Du har ret, det er lidt forkert at sige at der ikke er nogle integrationskonstant i den første del men i anden del, men med en lille forklaring går det ikke galt:

Vi ved at vi ved en integration får en konstant C, så:
∫(y / (1 + y²))dy = (1/2) * ln(y² + 1) + C₁

∫(x / (1 + x²))dx = (1/2) * ln(x² + 1) + C₂

Vi har nu:
(1/2) * ln(y² + 1) + C₁ = (1/2) * ln(x² + 1) + C₂

Ved at rykke C₁ over på den anden side af lighedstegnet får vi at:
(1/2) * ln(y² + 1) = (1/2) * ln(x² + 1) + C₂ - C₁

Hvor C₁ og C₂ begge er konstanter, så:
C = C₂ - C₁

Da vi allerede fra starten af, ved at vi kommer til at se ovenstående gjorde jeg det at jeg udelagde C₁ og C₂ og lagde en konstant C på til sidst, så:

(1/2) * ln(y2 + 1) = (1/2) * ln(x2 + 1) + C.

Håber det var forklaring nok på det med C.

#10
Vi substituerer:
u = (y² + 1)

du må så være u differentieret, hvilket er 2y.
du = 2y dy           - Har jeg åbentbart glemt at skrive i #8, det må du undskylde.

Vi har at du = 2y dy, så må dy være:
dy = du / 2y
     = (1 / 2y) du

Hej folkens,

jeg sidder med samme problem, men jeg har allerede lavet alt andet men til det er først til svaret jeg har et spørgsmål, da jeg hele tiden få forkert svar:

ln(y^2 + 1) = ln(x^2 + 1) + 2C               - Her er der plus + mellem ln(x^2 +1) og  2C og det får jeg også, men 

y(x) = √( [x^2 + 1] * e2C - 1 )                -når jeg når til resulatet  får jeg stadig +, mens i får det til at være  gange

                                                           mellem ln(x^2 +1)   og 2C  istedet for +, HVORFOR??  

Mit y(x) =   √( [x^2 + 1] + e^2C - 1 )

Hvad gør jeg forkert???

Tak på forhånd!

#13

Det skyldes, at e^{(a + b)} = e^a·e^b , ikke e^a + e^b

Jeg sidder med den samme opgave.

Svar til differentialligninger er selvfølgelig en ligning. Til denne skal det jo være; y(x)=1/5*sqrt(5*x²-20)

Jeg er derfor forvirret for #1; er sqrt((x²+1)*e^2*C-1) det samme som sqrt(x²+1/5-1) som er det samme som 1/5*sqrt(5*x²-20)? Altså er de alle 3 gyldige løsninger?

I #1 forstår jeg ikke hvordan man kommer fra 

ln(y^2 + 1) = ln(x^2 + 1) + 2C         til        y(x) = √( [x^2 + 1] * e2C - 1 

:)

#16

Man tager exp() på hver side, så

y² + 1 = (x²+1)·k ,

og

dermed

y² = (x²+1)·k - 1 .

Uddrag kvadratrod til sidst.

Jeg forstår ikke helt det trin hvor man finder C og opskriver den funlstædnige løsning... Er der nogen der kan forklare lidt nærmere? 

#18

Det er forklaret ovenfor, hvordan man separerer ligingen og integrerer den. man kommer så frem til den fuldstændige løsning

y² = (x²+1)·k - 1

og benytter så begyndelsesbetingelsen y(3) = 1, til at finde k:

1² = (3²+1)·k - 1 , dvs

k = 2/10 = 1/5 .

Hej!

Jeg forstår ikke helt. Hvis jeg skal skrive som en slags konklusion: "løsningen til differentialligningen er altså ..?.." - hvilken en er det så der er den endelige løsning?