restled

Jeg forstår ikke helt hvad du laver i din pdf. Men der er i hvert fald igen grund til at gøre det så besværligt.

I bund og grund udvikler du

1/(1-x^2)^(-1/2), hvor x=v/c omkring 0.

Du kan argumentere at alle led i din taylorudvikling er positive: hver gang du får et - fra at differentiere -x, får du også et - fra din ekponent differentiering. Dvs at din udvikling er en sum af uendelig mange led som alle er positive. Når du kun bruger de to første led, så er det klart at det oprindelig udtryk altid vil være større. Der er sikkert en flot matematisk måde at sige det på, men jeg er fysiker :)

Eller kan du kigge på uligheden

mc²/(1-v²/c²)^-1/2 > mc² + 1/2mv²

1/(1-x²)^-1/2 > 1 + 1/2x²

og se om den holder

Jeg er ikke klar over præcis, hvad du har gjort; men du har i hvert fald gjort det på en mindre smart måde.

Sæt x = v²/c²    0 ≤ x < 1 så skal du rækkeudvikle f(x) = (1-x)-½. foretager du en rækkeudviklingen fra x = 0 altså x0 = 0

Du skal så finde f'(0) og f''(0). Der gælder f'(x) = ½(1-x)^-3/2 og f''(x) = 3(1-x)^-5/2. Der gælder f'(0) = ½, f''(0) = 3/4. Du kan jo fortsætte og vil så finde f⁽ⁿ⁾(0) > 0 Alle led i Taylorrækken er positive så ligegyldig hvor du stopper vil det være mindre end den oprindelige funktion. Bruger du restleddet skal du integrere en positiv funktion med nedre grænse 0 og øvre grænse positiv. Dette kan ikke blive negativt.

hmm nej så noget går galt med min integration... Men jeg skal bruge taylors formel for restled, så ord duer bare ikke. Og taylors formel for restled er netop, den som siger, at en rækkeudviklet funktion i a som bruges til at bestemme en værdi i b afviger med.

f(b) = Tnf + 1/n!*integral(f fra a til b)

Så det er vel korrekt, at sige at det må betyde, at integralet skal være positivt.. Så det må være et eller andet med integrationen, men jeg forstår bare ikke, hvorfor det er en forkert metode. Lad mig lige uploade hele opgaven, så I kan se, hvad jeg har gjort galt..
Men jo kan godt se, det er besværligt det jeg gør, men derfor nager det mig stadig, at jeg ikke får det rigtige resultat med metoden, som efter mig at dømme burde være rigtig grundlæggende.

#3

Det er jo bare at skyde spurve med kanoner at køre frem med integraler osv. Som Lurch skriver i #1 (med visse rettelser), er den relativistiske energi

E(v) = mc²·(1 - v²/c²)^-1/2 ,

og Taylorudviklingen til 2. orden i v af E(v) er

T²E = mc² + (1/2)mv² .

Tilbage er så at vise, at E(v) - T²E > 0 for alle v > 0 , da E(v) - T²E jo netop er restleddet. Man ser da, at

E(v) - T²E = mc²·(1 - v²/c²)^-1/2 - mc² - (1/2)mc²·v²/c²

                  = mc² · [ (1 - β²)^-1/2 -1 - (1/2)β² ] , med β = v/c .

#3

Når du laver partiel integration, skal du gøre det korrekt:

(1/2) ∫ E'''(v)(b-v)² dv = (1/2)E''(v)(b-v)²  + ∫ E''(v)(b-v) dv = (1/2)E''(v)(b-v)² + E'(v)(b-v) + ∫ E'(v) dv

                                    = (1/2)E''(v)(b-v)² + E'(v)(b-v) + E(v)