Matematik

Omdrejningslegeme π∫(y-f(x))^2

25. oktober 2011 af muddermanden (Slettet) - Niveau: A-niveau

Samme opgave som denne (opgave 1012 c)
https://www.studieportalen.dk/forums/Thread.aspx?id=890145

Jeg sidder med en opgave, hvor jeg har en funktion f(x)=1/cos(x), som jeg skal finde omdrejningslegemet for ved at dreje omkring linjen y=2.

Grænserne kender jeg fra den første del af opgaven.
De er a=-π/3 og b=π/3

Jeg har tænkt mig at løse den som π*∫_a^b (y-f(x))^2 dx.

Som jeg ser det, så er der tale om kvadratet på en toleddet størrelse, og derfor får jeg:

π * (∫_a^b(f(x)^2) dx + ∫_a^b (2^2) dx - ∫_a^b (4f(x)) dx)

Har jeg valgt den nemmeste fremgangsmåde, eller har jeg valgt den besværlige vej. Jeg vil gerne løse opgaven ved håndkraft, men nu har jeg brugt flere dage, og er ved at brænde sammen oppe i hovedet ;)

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. oktober 2011 af mathon

f(x) = 1/cos(x) x∈[-π/3;π/3]

g(x) = 2

for x∈[-π/3;π/3] er g(x)≥f(x)

V = π·_-_π/3∫^π/3 g²(x)dx - π·_-_π/3∫^π/3 f²(x)dx

V = π·4(^π/₃ - (-^π/₃) - π·(tan(^π/₃) - tan(-^π/₃)) = (8π²)/3 - 2π√(3) ≠ 15,44

........

f²(x) = 1/cos²(x) = tan '(x)

Brugbart svar (0)

Svar #2
25. oktober 2011 af mette48 (Slettet)

V = π_·-π/3∫^π/3 g²(x)dx - π_·-π/3∫^π/3 f²(x)dx

dette er da volumen af g(x) drejet om y=0 og af f(x) drejet om y=0

det giver ikke samme rumfang som f(x) drejet om y=2

#1 din ide med at flytte f(x) så y=0 bliver omdrejningsakse er ikke så tosset

f(x) drejet om y=2 giver samme figur som g(x)=f(x)-2 drejet om y=0

Brugbart svar (1)

Svar #3
25. oktober 2011 af mathon

rettelse til #1

g(x) = f(x) - 2

V = π·_-_π/3∫^π/3 g²(x)dx = π·_-_π/3∫^π/3 ((1/cos(x)) - 2)²dx =

π·_-_π/3∫^π/3 ((1/cos²(x)) - 4/cos(x) + 4)dx =

π·_-_π/3∫^π/3(1/cos²(x))dx - 4π·_-_π/3∫^π/3(1/cos(x))dx + 4π·_-_π/3∫^π/3dx

π·_-_π/3∫^π/3(1/cos²(x))dx = π·(tan(^π/₃) - tan(-^π/₃)) = 2π√(3)

4π·_-_π/3∫^π/3(1/cos(x))dx = 4π·(ln(-cos(π/3)/(sin(π/3) -1)) - ln(-cos(-π/3)/(sin(-π/3) -1)) = 8π·ln(√(3)+2)

4π·_-_π/3∫^π/3dx = 4π·(π/3 - (-π/3)) = 8π²/3

V = π·_-_π/3∫^π/3 g²(x)dx = 2π√(3) - 8π·ln(√(3)+2) + 8π²/3

........

∫ (1/cos(x))dx = ln(cos(x)/(1-sin(x))) + k x∈[-π/3;π/3]

Svar #4
25. oktober 2011 af muddermanden (Slettet)

Mange tak for hjælpen mathon. Jeg kan se jeg var på rette vej, men mine udregninger fylder en hel side på computer og når det samme resultat. Din fremgangsmåde er mere overskuelig :)

Skriv et svar til: Omdrejningslegeme π∫(y-f(x))^2

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.